还剩15页未读，
继续阅读
初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数同步达标检测题
展开
这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数同步达标检测题，共18页。试卷主要包含了之间，则下列结论等内容，欢迎下载使用。
2021年新初三数学人教新版新课预习《22.1二次函数的图象和性质》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；①a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021•深圳模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①abc＜0；
②3a+b＞0；
③4a﹣2b+c＞0；
④b2＝4a（c﹣n）；
⑤一元二次方程ax2+bx+c＝n+1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2021•鹿城区模拟）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
4．（2021•南海区四模）抛物线y＝（x+3）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
5．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
二．填空题（共5小题）
6．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
7．（2021•贺兰县校级一模）抛物线y＝3（x﹣4）2+5的顶点坐标为 ．
8．（2021•南岗区模拟）抛物线y＝4（x﹣3）2+7的对称轴是 ．
9．（2021•道外区三模）二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为 ．
10．（2021•淮安区一模）已知A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）是二次函数y＝x2+4x﹣1图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1 y2．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；
（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．
12．（2020秋•永定区期末）抛物线y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，求m的值及抛物线的顶点坐标．
13．（2020秋•于都县期末）一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．
14．（2021•永嘉县模拟）如图，以P为顶点的抛物线y＝（x﹣m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B．
（1）用关于m的代数式表示k．
（2）若点A在B的下方，且AB＝2，求该抛物线的函数表达式．
15．（2020秋•汉寿县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
2021年新初三数学人教新版新课预习《22.1二次函数的图象和性质》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；①a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题；二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】先由图象开口向下判断出a＞0，由对称轴在y轴右侧得出b＜0，由图象与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0，所以abc＞0，由对称轴为直线x＝1得2a+b＝0，当x＝﹣1时图象在x轴上方，得出y＞0，即a﹣b+c＞0，再结合基本结论化简讨论得出其它结果．
【解答】解：由图象可知，开口向上；对称轴为直线x＝1；与y轴的交点在负半轴上；
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故说法①符合题意；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故说法②符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0得：﹣3a+c＞0，故说法③不符合题意；
∵a+b≤m（am+b）（m为实数），
∴a+b≤am2+bm，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数值y取最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c成立，故说法④符合题意．
∴正确的结论有：①、②、④，
故选：C．
【点评】本题主要考查学生对二次函数图象与系数之间的关系的掌握情况，以及特殊值代入能得到特殊的式子，再由得到的等量关系和不等关系推理得出结果．
2．（2021•深圳模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①abc＜0；
②3a+b＞0；
③4a﹣2b+c＞0；
④b2＝4a（c﹣n）；
⑤一元二次方程ax2+bx+c＝n+1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据图象得出a，b，c的符号，即可判断①，取对称轴得出a和b的关系即可判断②，取x＝2即可判断③，由顶点公式即可判断④，由函数的最大值即可判断⑤．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
取x＝0，得y＝c＞0，
又∵对称轴为，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，
∴①正确，
3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，
∴②错误，
由抛物线的对称性得：
x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴③错误，
由图象得，
即b2＝4a（c﹣n），
∴④正确，
∵y＝ax2+bx+c的最大值为n，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无解，
∴⑤错误，
正确的为①④，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，要熟记二次函数的对称轴，顶点公式，知道最大值或最小值的计算方法，还有抛物线关于对称轴对称等基本的知识点要全部掌握，中考喜欢出现在最后一道选择题或填空题．
3．（2021•鹿城区模拟）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再根据当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8和二次函数具有对称性，可以得到m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝3，函数图象开口向上，当x＝3时取得最小值﹣1，
∵当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，当x＝0时，y＝8，当x＝6时，y＝8，
∴m＝6，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出m的值．
4．（2021•南海区四模）抛物线y＝（x+3）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】几何直观．
【分析】二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），其对称轴为x═h．
【解答】解：由二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k，可知在y＝（x+3）2+2中，h═﹣3，
∴其对称轴为直线x═﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数顶点式的运用，特别要注意各系数的符号．
5．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 向上 （填“向上”或“向下”）．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】由二次函数图象开口方向和系数a之间的关系得出结论．
【解答】解：由y＝x2得：a＞0，
∴二次函数图象开口向上．
故答案为：向上．
【点评】本题主要考查了学生对二次函数图象开口方向和系数a之间的关系的掌握情况，只要掌握“a＞0，开口向上；a＜0，开口向下”即可快速得出结果．
7．（2021•贺兰县校级一模）抛物线y＝3（x﹣4）2+5的顶点坐标为 （4，5） ．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据顶点式中顶点的公式即可求出．
【解答】解：∵对于二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），
∴该抛物线的顶点为（4，5），
故答案为（4，5）．
【点评】本题考查二次函数的顶点式的应用，牢记顶点式的特点即可．
8．（2021•南岗区模拟）抛物线y＝4（x﹣3）2+7的对称轴是 直线x＝3 ．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】根据抛物线顶点式解析式直接写出对称轴即可．
【解答】解：∵抛物线y＝4（x﹣3）2+7，
∴对称轴为直线x＝3，
故答案为：直线x＝3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求对称轴是解题的关键．
9．（2021•道外区三模）二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为 （1，﹣2） ．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】数学建模思想；模型思想．
【分析】把y＝2x2﹣4x化为顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：y＝2x2﹣4x，
＝2（x2﹣2x），
＝2（x2﹣2x+1﹣1），
＝2（x2﹣2x+1）﹣2，
＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，会把抛物线的一般式化为顶点式或运用顶点坐标公式是求出顶点坐标的关键．
10．（2021•淮安区一模）已知A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）是二次函数y＝x2+4x﹣1图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1 ＝ y2．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】将A，B代入二次函数关系式得出y1，y2即可比较大小．
【解答】解：将A，B代入二次函数y＝x2+4x﹣1得：
y1＝（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1
＝9﹣12﹣1
＝﹣4，
y2＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1
＝1﹣4﹣1
＝﹣4，
∴y1＝y2，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，直接求出函数值比较大小，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；
（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；应用意识．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c可求b、c的值即可．
（2）设出点p的坐标，根据面积关系列方程求解．
（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．利用全等三角形的性质求出点M，N的坐标，再利用待定系数法，构建方程求出m的值即可
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的关系式为y＝x2+2x﹣3．
（2）设P的纵坐标为y．
∵正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2．
∴（32+y2）＝××3×|y|．
解得：y＝±或＝±6．
∴点P的坐标为：P1（0，）或P2（0，﹣）或P3（0，6）或P4（0，﹣6）．
（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．
∵四边形AMPN是正方形，
∴TA＝TP＝TM＝TN，AP⊥MN，
∵A（﹣3，0），P（0，m），
∴T（﹣，m），
∵∠PET＝∠F＝∠PTN＝90°，
∴∠PTE+∠NTF＝90°，∠NTF+∠TNF＝90°，
∴∠PTE＝∠TNF，
∴△PET≌△TFN（AAS），
∴ET＝FN，PE＝TF，
同法可证△PET≌△TGM，
∴MG＝ET＝FN，GT＝PE＝TF，
∴M（﹣﹣，+），N（﹣+，﹣），
当点M在抛物线上时，+＝（﹣﹣）2+2（﹣﹣）﹣3，
解得m＝±，
当点N在抛物线上时，﹣＝（﹣+）2+2（﹣+）﹣3，
解得m＝2±
∴满足条件的点P的坐标是：（0，﹣3）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣）或（0，2﹣）或（0，2+）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，正方形的性质，全等三角形的平蒂花之秀等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
12．（2020秋•永定区期末）抛物线y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，求m的值及抛物线的顶点坐标．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】根据y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，可以求得m的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴＝2，
解得，m＝﹣2，
∴y＝2x2﹣8x﹣7＝2（x﹣2）2﹣15，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣15），
即m的值是﹣2，抛物线的顶点坐标是（2，﹣15）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x＝﹣，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．
13．（2020秋•于都县期末）一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【分析】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
根据题意，得，
解得，
∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14．（2021•永嘉县模拟）如图，以P为顶点的抛物线y＝（x﹣m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B．
（1）用关于m的代数式表示k．
（2）若点A在B的下方，且AB＝2，求该抛物线的函数表达式．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点即可得到答案；
（2）利用待定系数法进行解答可得问题的答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣m）2+k，
∴P（m，k），
∵经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B，
∴k＝﹣2m+3．
（2）∵y＝﹣2x+3交y轴于点B，
∴y＝﹣2×0+3，
∴B（0，3），
∵AB＝2，
∴A（0，1），
把（0，1）代入y＝（x﹣m）2+k得，
1＝m2+k，
∵k＝﹣2m+3，
∴1＝m2﹣2m+3，
∴m＝2，
代入k＝﹣2m+3得，k＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点评】此题考查的是待定系数法求函数解析式，能够正确分析图象是解决此题关键．
15．（2020秋•汉寿县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
【考点】二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
7．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
9．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
10．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/7/2 9:38:08；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
2021年新初三数学人教新版新课预习《22.1二次函数的图象和性质》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；①a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021•深圳模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①abc＜0；
②3a+b＞0；
③4a﹣2b+c＞0；
④b2＝4a（c﹣n）；
⑤一元二次方程ax2+bx+c＝n+1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2021•鹿城区模拟）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
4．（2021•南海区四模）抛物线y＝（x+3）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
5．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
二．填空题（共5小题）
6．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
7．（2021•贺兰县校级一模）抛物线y＝3（x﹣4）2+5的顶点坐标为 ．
8．（2021•南岗区模拟）抛物线y＝4（x﹣3）2+7的对称轴是 ．
9．（2021•道外区三模）二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为 ．
10．（2021•淮安区一模）已知A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）是二次函数y＝x2+4x﹣1图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1 y2．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；
（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．
12．（2020秋•永定区期末）抛物线y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，求m的值及抛物线的顶点坐标．
13．（2020秋•于都县期末）一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．
14．（2021•永嘉县模拟）如图，以P为顶点的抛物线y＝（x﹣m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B．
（1）用关于m的代数式表示k．
（2）若点A在B的下方，且AB＝2，求该抛物线的函数表达式．
15．（2020秋•汉寿县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
2021年新初三数学人教新版新课预习《22.1二次函数的图象和性质》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；①a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题；二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】先由图象开口向下判断出a＞0，由对称轴在y轴右侧得出b＜0，由图象与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0，所以abc＞0，由对称轴为直线x＝1得2a+b＝0，当x＝﹣1时图象在x轴上方，得出y＞0，即a﹣b+c＞0，再结合基本结论化简讨论得出其它结果．
【解答】解：由图象可知，开口向上；对称轴为直线x＝1；与y轴的交点在负半轴上；
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故说法①符合题意；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故说法②符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0得：﹣3a+c＞0，故说法③不符合题意；
∵a+b≤m（am+b）（m为实数），
∴a+b≤am2+bm，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数值y取最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c成立，故说法④符合题意．
∴正确的结论有：①、②、④，
故选：C．
【点评】本题主要考查学生对二次函数图象与系数之间的关系的掌握情况，以及特殊值代入能得到特殊的式子，再由得到的等量关系和不等关系推理得出结果．
2．（2021•深圳模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①abc＜0；
②3a+b＞0；
③4a﹣2b+c＞0；
④b2＝4a（c﹣n）；
⑤一元二次方程ax2+bx+c＝n+1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据图象得出a，b，c的符号，即可判断①，取对称轴得出a和b的关系即可判断②，取x＝2即可判断③，由顶点公式即可判断④，由函数的最大值即可判断⑤．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
取x＝0，得y＝c＞0，
又∵对称轴为，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，
∴①正确，
3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，
∴②错误，
由抛物线的对称性得：
x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴③错误，
由图象得，
即b2＝4a（c﹣n），
∴④正确，
∵y＝ax2+bx+c的最大值为n，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无解，
∴⑤错误，
正确的为①④，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，要熟记二次函数的对称轴，顶点公式，知道最大值或最小值的计算方法，还有抛物线关于对称轴对称等基本的知识点要全部掌握，中考喜欢出现在最后一道选择题或填空题．
3．（2021•鹿城区模拟）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再根据当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8和二次函数具有对称性，可以得到m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝3，函数图象开口向上，当x＝3时取得最小值﹣1，
∵当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，当x＝0时，y＝8，当x＝6时，y＝8，
∴m＝6，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出m的值．
4．（2021•南海区四模）抛物线y＝（x+3）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】几何直观．
【分析】二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），其对称轴为x═h．
【解答】解：由二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k，可知在y＝（x+3）2+2中，h═﹣3，
∴其对称轴为直线x═﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数顶点式的运用，特别要注意各系数的符号．
5．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是 向上 （填“向上”或“向下”）．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】由二次函数图象开口方向和系数a之间的关系得出结论．
【解答】解：由y＝x2得：a＞0，
∴二次函数图象开口向上．
故答案为：向上．
【点评】本题主要考查了学生对二次函数图象开口方向和系数a之间的关系的掌握情况，只要掌握“a＞0，开口向上；a＜0，开口向下”即可快速得出结果．
7．（2021•贺兰县校级一模）抛物线y＝3（x﹣4）2+5的顶点坐标为 （4，5） ．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据顶点式中顶点的公式即可求出．
【解答】解：∵对于二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），
∴该抛物线的顶点为（4，5），
故答案为（4，5）．
【点评】本题考查二次函数的顶点式的应用，牢记顶点式的特点即可．
8．（2021•南岗区模拟）抛物线y＝4（x﹣3）2+7的对称轴是 直线x＝3 ．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】根据抛物线顶点式解析式直接写出对称轴即可．
【解答】解：∵抛物线y＝4（x﹣3）2+7，
∴对称轴为直线x＝3，
故答案为：直线x＝3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求对称轴是解题的关键．
9．（2021•道外区三模）二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为 （1，﹣2） ．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】数学建模思想；模型思想．
【分析】把y＝2x2﹣4x化为顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：y＝2x2﹣4x，
＝2（x2﹣2x），
＝2（x2﹣2x+1﹣1），
＝2（x2﹣2x+1）﹣2，
＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，会把抛物线的一般式化为顶点式或运用顶点坐标公式是求出顶点坐标的关键．
10．（2021•淮安区一模）已知A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）是二次函数y＝x2+4x﹣1图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1 ＝ y2．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】将A，B代入二次函数关系式得出y1，y2即可比较大小．
【解答】解：将A，B代入二次函数y＝x2+4x﹣1得：
y1＝（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1
＝9﹣12﹣1
＝﹣4，
y2＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1
＝1﹣4﹣1
＝﹣4，
∴y1＝y2，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，直接求出函数值比较大小，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；
（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；应用意识．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c可求b、c的值即可．
（2）设出点p的坐标，根据面积关系列方程求解．
（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．利用全等三角形的性质求出点M，N的坐标，再利用待定系数法，构建方程求出m的值即可
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的关系式为y＝x2+2x﹣3．
（2）设P的纵坐标为y．
∵正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2．
∴（32+y2）＝××3×|y|．
解得：y＝±或＝±6．
∴点P的坐标为：P1（0，）或P2（0，﹣）或P3（0，6）或P4（0，﹣6）．
（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．
∵四边形AMPN是正方形，
∴TA＝TP＝TM＝TN，AP⊥MN，
∵A（﹣3，0），P（0，m），
∴T（﹣，m），
∵∠PET＝∠F＝∠PTN＝90°，
∴∠PTE+∠NTF＝90°，∠NTF+∠TNF＝90°，
∴∠PTE＝∠TNF，
∴△PET≌△TFN（AAS），
∴ET＝FN，PE＝TF，
同法可证△PET≌△TGM，
∴MG＝ET＝FN，GT＝PE＝TF，
∴M（﹣﹣，+），N（﹣+，﹣），
当点M在抛物线上时，+＝（﹣﹣）2+2（﹣﹣）﹣3，
解得m＝±，
当点N在抛物线上时，﹣＝（﹣+）2+2（﹣+）﹣3，
解得m＝2±
∴满足条件的点P的坐标是：（0，﹣3）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣）或（0，2﹣）或（0，2+）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，正方形的性质，全等三角形的平蒂花之秀等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
12．（2020秋•永定区期末）抛物线y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，求m的值及抛物线的顶点坐标．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】根据y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，可以求得m的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴＝2，
解得，m＝﹣2，
∴y＝2x2﹣8x﹣7＝2（x﹣2）2﹣15，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣15），
即m的值是﹣2，抛物线的顶点坐标是（2，﹣15）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x＝﹣，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．
13．（2020秋•于都县期末）一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【分析】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
根据题意，得，
解得，
∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14．（2021•永嘉县模拟）如图，以P为顶点的抛物线y＝（x﹣m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B．
（1）用关于m的代数式表示k．
（2）若点A在B的下方，且AB＝2，求该抛物线的函数表达式．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点即可得到答案；
（2）利用待定系数法进行解答可得问题的答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣m）2+k，
∴P（m，k），
∵经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B，
∴k＝﹣2m+3．
（2）∵y＝﹣2x+3交y轴于点B，
∴y＝﹣2×0+3，
∴B（0，3），
∵AB＝2，
∴A（0，1），
把（0，1）代入y＝（x﹣m）2+k得，
1＝m2+k，
∵k＝﹣2m+3，
∴1＝m2﹣2m+3，
∴m＝2，
代入k＝﹣2m+3得，k＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点评】此题考查的是待定系数法求函数解析式，能够正确分析图象是解决此题关键．
15．（2020秋•汉寿县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
【考点】二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
7．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
9．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
10．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/7/2 9:38:08；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
相关试卷
沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质精练： 这是一份沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图象和性质精练，共18页。试卷主要包含了之间，则下列结论等内容，欢迎下载使用。
初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步练习题： 这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步练习题，共15页。
初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课堂检测： 这是一份初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课堂检测，共20页。试卷主要包含了2的图象上等内容，欢迎下载使用。
