2021-2022学年四川省德阳市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省德阳市八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 要使二次根式有意义，则不能取的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 学校艺术周美术作品比赛中，统计评委分数时，去掉一个最高分和一个最低分，下列统计量中一定不变的是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

4. 已知中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 邻角互补 C. 对边相等 D. 对角线相等

6. 如图，已知点、分别是的边、的中点，若，，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 某班同学投掷实心球的成绩统计表如下，则该成绩的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移个单位后，得到一条新的直线，该新直线与轴的交点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 一次函数的图象如图所示，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．则直线的解析式为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动．设点的运动时间为秒，当和全等时，的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

13. 化简： ______ ．
14. 如图，在菱形的外侧，作等边，连接、若对角线，则______度．

15. 某班有人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小明没有参加此次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小明进行了补测，成绩是分，则该班人的数学测试成绩的方差______．
16. 如图，中，、分别是、边上的高，为的中点，，，则的周长是______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，▱点的坐标，点的坐标，直线以每秒个单位长度的速度向右平移，经过______秒时，该直线可将平行四边形的面积平分．

18. 如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为______．

19. 小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过分时，小明与家之间的距离为米，小明爸爸与家之间的距离为米，图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过______分钟在返回途中追上爸爸．

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

20. 计算：

四、解答题（本大题共5小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    如图，直线经过，两点，直线：交于点．
    求直线的函数解析式；
    求点的坐标．

22. 本小题分
    如图，在▱中，的平分线交于点，交于点．
    求证：四边形是菱形；
    若，，，求▱的面积．

23. 本小题分
    新型冠状病毒感染的肺炎疫情爆发后，德阳某学校学生会向全校名学生发起了“一方有难，八方支援”的捐款活动，为疫情防控工作提供支持，助力战斗在第一线的“逆行者”们打赢疫情防控狙击战．为了解捐款情况，学生会随机对部分学生的捐款金额进行了抽样整理，并用得到的数据绘制了统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题：
    
    本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图中的值是______；
    求本次调查获取的样本数据的平均数；
    根据样本数据，请你估计该校本次活动中捐款金额不少于元的学生人数．
24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线：与、轴的正半轴分别相交于点、，过点作平行于轴的直线交直线于点，．
    求的值；
    求证：是等腰直角三角形．

25. 本小题分
    已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．
    
    当点在边上运动时；探究：点到边的距离是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
    当为何值时，的面积最小，并求出这个最小值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：要使二次根式有意义，则，即，
所以不能取，
故选：．
根据二次根式有意义的条件，确定的取值范围即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握“若有意义，则”是正确判断的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：．
去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，
由勾股定理得，，
故选：．
直接利用勾股定理计算即可．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：．
根据矩形和平行四边形的性质判断即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和平行四边形的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：点、分别是的边、的中点，，，，
，，，
的周长为，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，根据三角形的周长公式得到．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据中，成绩为分的出现的次数最多，是次，因此成绩的众数是分，
故选：．
根据众数的定义进行判断即可．
本题考查众数，理解众数的定义是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将直线沿轴向下平移个单位后，得到，
把代入得，，
解得，
所以该直线与轴的交点坐标是，
故选：．
直接根据“上加下减”的原则得到平移后的直线的解析式，再把代入所得的解析式解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
即，
故选：．
由，得，两边平方即可得．
本题考查与二次根式有关的代数式求值，解题的关键是将已知式子变形，再两边平方．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
原式
．
故选A．
根据一次函数的图象确定的取值范围，再化简即可．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出的取值范围．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线分别与、轴交于点、，
点，点，
，，
，
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：．
故选：．
先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是直角三角形，
为直角三角形，
点只能在上或者上，
当点在上时，若≌，有，
，
，
，
当点在上时，若≌，有，
，
故选：．
分点在和上两种情况讨论，由全等三角形的性质可得出答案．
本题了考查三角形全等的判定，正方形的性质，关键是要考虑到点的两种情况，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案是：．
根据二次根式的乘法法则即可求解．
主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，

是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
故答案为：．
根据菱形和等边三角形的性质可说明四边形是菱形，则，从而可得答案．
本题主要考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和判定是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：小明的成绩和其他人的平均数相同，都是分，
该班人的测试成绩的平均分为分，
，
，
，
故答案为：．
根据平均数，方差的定义计算即可．
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
的周长，
故答案为：．
在中，，在中，，的周长．
本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将▱的面积平分，

四边形是平行四边形，
，
，，
，
设的解析式为，
平行于直线，
，
过，
的解析式为，
直线要向右平移个单位，
时间为秒，
故答案为：．
首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将▱的面积平分，然后计算出过且平行于直线的直线解析式，从而可得直线要向右平移个单位，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图像与几何变换，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
 

18.【答案】 

【解析】解：作，交的延长线于，

，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得，，，
，
点是的中点，
，，
，
故答案为：．
作，交的延长线于，可得四边形是矩形，得，，再利用勾股定理求出，的长，从而解决问题．
本题主要考查了勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：由题意得点的坐标为，
小明骑车返回用时也是分钟，因此点的坐标为，
小明的爸爸返回的时间为分，点的坐标，
设直线、的关系式分别为，，
把，，，代入相应的关系式得：
，，
解得：，，
直线、的关系式分别为，，
当时，即：，
解得：，
故答案为：．
由题意得点的坐标为，小明骑车返回用时也是分钟，因此点的坐标为，小明的爸爸返回的时间为分，点的坐标因此可以求出、的函数关系式，由关系式求出交点的横坐标即可．
考查一次函数的图象和性质、二元一次方程组的应用等知识，正确的识图，得出点的坐标求出直线的关系式是解决问题的首要问题．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式及绝对值化简几个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等知识点的运算．
 

21.【答案】解：设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
由解得，
点的坐标为 

【解析】利用待定系数法即可求得；
解析式联立成方程组，解方程组即可求得．
本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
设与之间的距离为，
则，，
，
，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，由角平分线定义和平行线的性质可证，即可得出结论；
由菱形的性质得出，，，，由勾股定理求出，则，，，设与之间的距离为，则，，推出，再由，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积与菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：人，
，
，
故答案为：；；
元，
答：本次调查获取的样本数据的平均数是元；
人，
答：本次活动中捐款金额不少于元的学生人数约人．
由元的人数及其所占百分比可得总人数，用元人数除以总人数可得的值；
根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数；
根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额不少于元的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

24.【答案】解：，，
，
将点代入，
；
证明：由得，
令，则，
，
令，则，
，
过点作轴交于，
，，
在和中，
，，，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形． 

【解析】求出点坐标，再将点代入，即可求的值；
过点作轴交于，证明≌，可得，，则，即可证明．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：点到边的距离是定值．
过作，交延长线于，连接，
，
，
，
，
，
在和中，，，
≌，
，
即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值，
由题易知：，
要使有最小值，
则需最小，所以最大，
在中，当最大时，最大，
在中，，
，
，
，
，
当时，，
的最小值，
即当时，的面积最小值为． 

【解析】过作，交延长线于，连接，由于，可得，同理有，利用等式性质有，再结合，，可证≌，从而有即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值；
由题易知，要使有最小值，则需最小，所以最大，在中，当最大时，最大，在中，，，可以求出最小值．
本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过作，交延长线于，连接，构造全等三角形和内错角．