河南省郑州市2021_2022学年九年级数学上学期期末试题(含答案)

这是一份河南省郑州市2021_2022学年九年级数学上学期期末试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省郑州市2021-2022学年
九年级上学期期末数学试题

一、单选题
1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是（　　）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．﹣π
【答案】D
【分析】
把数字从大到小排序，然后再找最小数．
【详解】
解：|﹣3.14|＝3.14．|﹣3|＝3，|-|＝，|﹣π|＝π．
∴﹣π＜﹣3＜﹣＜|﹣3.14|，
故选：D．
【点睛】
本题考查实数大小比较，掌握比较方法是本题关键．
2．如图所示的工件的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选B．
3．在今年十一期间，汝州风穴寺景区共接待游客8. 7275万人次，旅游总收入为2094. 6万元. 将2094. 6万元用科学记数法表示为（）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】C
【分析】
先将2094.6万元改写为20946000元，再根据科学记数法的表示方法得出答案.
【详解】
2094.6万元=20946000元=元，
故选C.
【点睛】
本题考查科学记数法，其形式为，其中，n是整数，关键是确定和n的值.
4．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．调查市场上冷冻食品的质量情况
B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品
C．调查某品牌冰箱的使用寿命
D．调查2021年春晚的收视率情况
【答案】B
【分析】
根据全面调查和抽样调查的概念，结合实际解答即可．
【详解】
A、调查市场上冷冻食品的质量情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品，适宜采用普查方式，故本选项符合题意；
C、调查某品牌冰箱的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D、调查2021年春晚的收视率情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．如图，△EFG 的三个顶点E，G 和F 分别在平行线AB，CD 上，FH 平分∠EFG，交线段EG 于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为（）

A．105° B．75° C．90° D．95°
【答案】B
【分析】
首先根据∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF的大小为多少即可．
【详解】
解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°，
∴∠FEH=180°-36°-57°=87°；
∵AB∥CD，
∴∠EFG=∠AEF=36°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=∠EFG=×36°=18°，
∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=180°-87°-18°=75°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．
6．若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣c＞b﹣d B． C．ac＞bc D．ac＞bd
【答案】A
【分析】
根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【详解】
解：．当，，，时，，故本选项符合题意；
．若，，则，故本选项不合题意；
．若，，则，故本选项不合题意；
．若，，则，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有931人参与列出方程即可.
【详解】
由题意，设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，
根据两轮传播后，共有931人参与列出方程，
得n2+n+1=931，
故选： C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点G作GH⊥AB于H．

由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理，尺规作图作角平分线，掌握角平分线的性质是解题的关键．
9．如图，△DEF的三个顶点分别在反比例函数xy＝n与xy＝m（x＞0，m＞n＞0）的图象上，若DB⊥x轴于B点，FE⊥x轴于C点，若B为OC的中点，△DEF的面积为2，则m，n的关系式是（　　）

A．m﹣n＝8 B．m+n＝8 C．2m﹣n＝8 D．2m+n＝3
【答案】A
【分析】
设，则，，根据列出等式，整理即可求得．
【详解】
解：设，则，，
，的面积为2，
，
整理得．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意列出等式．
10．如图1，在等边三角形ABC和矩形DEFG中，AC＝DE，点C，D，G都在直线l上，且AC⊥l于点C，DE⊥l于点D，且D，B，E三点共线，将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形DEFG和△ABC无重叠部分，设矩形DEFG运动的时间为t秒，矩形DEFG和△ABC重叠部分的面积为S，图2为S随t的变化而变化的函数图象，则函数图象中点H的纵坐标是（　　）

A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】
根据图2可知在第3秒时矩形DEFG和△ABC重叠部分的面积最大，求出重叠面积即可得解．
【详解】
解：在图2的函数图象中，点H的意义为第3秒时矩形DEFG和△ABC重叠部分的面积最大，
根据题意知，矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，
又∵若矩形DEFG和△ABC重叠部分的面积最大时，D在C处，
∴CD=3
如图，

∵第5秒时，S=0，
∴G在C处，
∴GD+CD=5
∴GD=2
在等边三角形BPQ和等边三角形ABC中，∠MBC=30°，MB=3，BN=MB-MN=3-2=1
∴BC=2CM，BQ=2QN
由勾股定理得，QN=，CM=
∴AC=CM=2，PQ=2QN=
∴S△ABC=
S△BPQ=
当矩形DEFG和△ABC重叠部分的面积最大时，则有：
S= S△ABC- S△BPQ=
∴点H的纵坐标是．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积公式以及函数图象，明确点H的意义是解答此题的关键．

第II卷（非选择题）
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评卷人
得分



二、填空题
11．写出一个比大且比小的整数_______．
【答案】2或3
【分析】
先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，即可得出答案．
【详解】
解：∵，，
∴比大且比小的整数是2或3，
故答案为：2或3．
【点睛】
本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．
12．已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣的值为_____．
【答案】
【分析】
利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】
解：是方程的根，
，
，
原式

．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．

【答案】
【分析】
过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．
【详解】
解：如图，过点D作于，过点C作于．

∵，
∴，
∵，
设，，

∴，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，，，
∴（等腰三角形两腰上的高相等）
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
14．如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是________．

【答案】
【分析】
求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到，根据即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中，，
∵AD∥BO，
∴，
∴．

故答案为：
【点睛】
本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为_____．

【答案】或
【分析】
分两种情况：①如图1，∠D'AB'＝90°，②如图2，∠AB'D'＝90°，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，∠D'AB'＝90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，

∴∠H＝∠AGB'＝∠BGB'＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，
∵tan∠ABD＝，即，
设B'G＝3x，BG＝4x，
∴BB'＝a＝5x，
由平移得：DD'＝BB'＝5x，
∴D'H＝3+3x，AH＝BG＝4x，
∴AG＝AB＝BG＝4﹣4x，
∵∠D'AB'＝∠HAD'+∠BAB'＝90°，
∠AD'H+∠HAD'＝90°，
∴∠AD'H＝∠GAB'，
∵∠H＝∠AGB'＝90°，
∴△D'HA∽△AGB'，
∴，即，
∴x＝，
∴a＝5×＝；
②如图2，∠AB'D'＝90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，

∴∠AMB'＝90°，
由平移得：B'C'＝BC＝3，
同理设B'M＝3m，BM＝4m，则BB'＝a＝5m，
∴AM＝4﹣4m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'＝90°，∠MAB'+∠AB'M＝90°，
∴∠D'B'C'＝∠MAB'，
∵∠C'＝∠AMB'＝90°，
∴△D'C'B'∽△B'MA，
∴，即，
∴m＝，
∴a＝5m＝5×＝；
综上，a的值是或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．

评卷人
得分



三、解答题
16．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
【答案】，
【分析】
利用分式的混合运算法则化简，再解不等式组，找到其整数解，找到合适的值代入即可求出答案．
【详解】
解：原式，
，
，
，
解不等式组得：，
是不等式组的整数解，
，
故原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是取合适的整数值求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
17．家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m=，n=；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是；
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．

【答案】（1）③；（2）①20，6；②答案见解析；③36°；④大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【分析】
（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
（2）①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调查的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m，用E类户数除以总户数求出n；
②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；
③用360°乘以C对应的百分比可得；
④用180万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可．
【详解】
（1）选取样本的方法最合理的一种是③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
故答案为：③；
（2）①抽样调查的家庭总户数为：80÷8%=1000（户），
m%==20%，m=20，
n%==6%，n=6．
故答案为：20，6；
②C类户数为：1000﹣（80+510+200+60+50）=100，
条形统计图补充如下：

③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×10%=36°．
故答案为：36°；
④180×10%=18（万户）．
答：若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．
18．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）．
（1）m＝　　，n＝　　；
（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；
（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？
【答案】（1），27；（2）W＝，且x为正整数；（3）17天
【分析】
（1）根据“第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克”将x和y的值代入相应的函数解析式求解；
（2）先求得第x天的销售量，然后根据利润＝（售价﹣成本价）×销售量分段列出函数解析式；
（3）结合一次函数和二次函数的性质及利润不低于1224元的条件分析求解．
【详解】
解：（1）∵第14天的售价为34元/千克，
∴当x＝14时，y＝34，
∵1＜14＜20，
∴把x＝14，y＝34代入y＝mx﹣82m中，
14m﹣82m＝34，
解得：m＝﹣，
∵第27天的售价为27元/千克，
∴当x＝27时，y＝27，
∵27＞20，
∴把y＝27代入y＝n中，
得：n＝27，
故答案为：﹣，27；
（2）由题意，第x天的销售量为42+6（x﹣1）＝6x+36，
∴第x天的售价为y＝，
∴当1≤x＜20时，
W＝（﹣x+41﹣21）（6x+36）＝﹣3x2+102x+720，
当20≤x＜30时，
W＝（27﹣21）（6x+36）＝36x+216，
综上，W＝，且x为正整数，
（3）当1≤x＜20，W＝1224时，
﹣3x2+102x+720＝1224，
解得：x1＝6，x2＝28，
∵﹣3＜0，
∴当W≥1224时，6≤x＜20，且x为正整数，
∴x可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天，
当20≤x≤30，W＝1224时，
36x+216＝1224，
解得：x＝28，
∵36＞0，
∴当W≥1224时，28≤x≤30，且x为正整数，
∴x可取28，29，30共3天，
14+3＝17（天），
综上，当天利润不低于1224元的共有17天．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键．
19．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为　　，反比例函数的解析式为　　；
（2）请直接写出不等式组≤﹣x+b的解集是　　；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．

【答案】（1）y＝﹣x+4；；（2）1≤x≤3；（3）最大值是2，最小值是
【分析】
（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得b＝4，即得一次函数的解析式为y＝﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函数的解析式为；
（2）求出A（1，3），由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的范围即≤﹣x+b的解集，即可求解；
（3）由点P是线段AB上一点，可设设P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得S＝OD•PD＝﹣（n﹣2）2+2，根据二次函数的性质即可求得最大值
【详解】
解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：
1＝﹣3+b，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，
将B（3，1）代入y＝得：
1＝，解得k＝3，
∴反比例函数的解析式为；
故答案为：；
（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：
3＝﹣m+4，解得m＝1，
∴A（1，3），
由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为A（1，3），B（3，1），
则≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
故答案为：
（3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），
∴1≤n≤3，
∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，
∵﹣＜0，且1≤n≤3，
∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，
∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，根据函数图象交点求不等式的解集，根据二次函数的性质求最值，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的性质是解题的关键．
20．曹魏古城是许昌的特色建筑之一，具有文化展示、旅游休闲、商业服务、特色居住等主要功能．某数学活动小组借助测角仪和皮尺测量曹魏古城南城门中间大门的高度．如图，矩形是中间大门的截面图，他们先在城门南侧点C处测得点A的仰角为58°，然后沿直线从点C处穿过城门到达点D，从点D处测得点B的仰角为45°，点C到点D的距离为38米，的距离为18米，求曹魏古城南城门中间大门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，）

【答案】12m
【分析】
在直角三角形AEC与直角三角形BFD中，利用三角函数把CE和FD用AE表示出来，再根据CD=CE+EF+FD得到关于AE的方程，解方程即可．
【详解】
由题意得CD=38m，EF=18m
∵矩形
∴∠AEC=∠BFD=90°，AE=BF
则，
∵CD=CE+EF+FD
∴
解得AE≈12
故曹魏古城南城门中间大门的高度约为12m．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的基本定义是解题关键．
21．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件
【分析】
（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可；
（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可；
（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可．
【详解】
解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元．
根据题意，得，
解得：，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）根据题意，得，
解得：，
∵m为整数，
∴m可取5、6、7，
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为W万元，则，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，（万元），
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，
根据题意，此时，节省的费用为（万元），
降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，
设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种，
则：，
由题意，a，b均为非负整数，
∴满足条件的解为：或，
∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
【点睛】
本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一次函数的性质是解题关键．
22．抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”．已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣4x-5；（2）-9＜y＜．
【分析】
（1）把点D坐标代入抛物线解析式求出a，问题得解；
（2）先根据“不动点”的定义求出N、Q的坐标，再根据抛物线性质确定对称轴、开口方向，得到点N、Q位于对称轴两侧，求出抛物线图象最低点坐标，进而即可确定点H取值范围．
【详解】
解：（1）∵点D（4，﹣a﹣3）在抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的图象上，
∴16-8a-a-3=-a-3
解得a=2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x-5；
（2）∵点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣4x-5图象上的“不动点”，
∴x2﹣4x-5=x，
即x2﹣5x-5=0，
解得，
∴点N、Q的坐标分别为、，
由抛物线y＝x2﹣4x-5得对称轴为x=2，开口向上；
∴N、Q位于对称轴两侧，
图象有最低点，坐标为（2，-9），
∴点H的纵坐标的取值范围为-9＜y＜．
【点睛】
本题考查了抛物线点的坐标特点，抛物线的性质等知识，理解“不动点”的定义，构造方程求出点N、Q坐标是解题关键．
23．如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．

【答案】（1）45°；（2）AE＝BE+CE，理由见解析；（3）或
【分析】
（1）连接AC，证A、B、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB＝∠ACB，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；
（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH＝BE，进而得出结论；
（3）分两种情况，由（2）得FH＝EH＝BE，由三角函数定义得出AH＝3BH＝BE，分别表示出CE，进而得出答案．
【详解】
解：（1）连接AC，如图①所示：

∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE＝BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF＝，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，，
∴，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示，

由（2）得：FH＝EH＝BE，
∵tan∠DAB＝，
∴，
∴，
∴；
②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示，

同①得：，
∴，
∴＝；
综上所述，当α＝120°，时，的值为或．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．