2023届山东省济南市高三开学摸底考试数学试题 扫描版

2022-2023学年高三年级摸底考试

数学试题参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（只要均可以）；14．；15．1；16．．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【解析】

   （1）因为：，

由正弦定理得：，又因为 ，

所以 ；

 （2）记的中点为，则，

        设，因为，

所以 ，

即 ，

所以 ，所以 ，

所以 ，则，

所以 ．

18．【解析】

（1）由频率分布直方图知：

，

所以 ．

（2）按比例分层抽样抽取7人，

成绩在，的人数分别为3人，4人．

        所以 的所有可能取值为：；

则，，

，；

        则的分布列为：

所以 的数学期望为：．

19．【解析】

（1）由得：，

又因为 ，则，且，

所以 是首项为1公差为1的等差数列，

所以 ．

（2）因为，，

所以  ，

             ，

两式相减得：

，

        所以 ．

20．【解析】

（1）因为 分别为的中点，所以 ；

因为 ，所以 ，

取中点为，连接，

因为 为正三棱锥，所以 ，且，

所以 平面，所以 ，又，

所以 平面；

所以 ，

设点到平面的距离为，

所以 ，

因为 ，所以 ，

所以 点到平面的距离为．

（2）如图，以为原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则 ，，，，，，

所以 ，，

设平面的法向量为，

由，解得，

令，得，

 ，，

设平面的法向量为，

由，解得，

令，得，

设平面与平面的夹角为，

所以 ，

所以 平面与平面夹角为余弦值为．

21．【解析】

（1）抛物线的焦点为，即，

椭圆上的点到点的最大距离为，所以 ，，

所以 椭圆方程为．

（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，

设点，，，

直线的方程为，

即，即，

同理可知，直线的方程为，

由于点为这两条直线的公共点，则，

所以 点的坐标满足方程，

所以 直线的方程为，

联立，可得，

由韦达定理可得，，

所以 ，

点到直线的距离为，

所以 ，

因为 ，

由已知可得，

所以 当时，面积的最大值为． 

22．【解析】

（1）由题意知 ，

，

当 时，，

所以 在上单调递增，

所以 ．

（2）注意到 ，

，则，

若，，

由（1）知，当 时，；

当 时，

，

所以 恒成立，符合题意；

若，，

当时，，不合题意；

若，因为 ，

所以 在上单调递增，

因为 ，又，

所以 存在，，

当 时，，

在上单调递减，，不合题意；

综上，．