2024届山东省济南市历城第二中学学年高三上学期开学摸底考试检测数学试题含答案

这是一份2024届山东省济南市历城第二中学学年高三上学期开学摸底考试检测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届山东省济南市历城第二中学学年高三上学期开学摸底考试检测数学试题 一、单选题1．若集合，，则的子集有（  ）A．15个 B．16个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】利用交集的运算法则以及集合子集的计算公式求解.【详解】因为，或，所以或，它有个子集.故选：B.2．设复数z的共轭复数为，，则复数在复平面内的对应点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数除法和共轭复数概念以及复数几何意义即可得到答案.【详解】由题可知复数，则，所以复数在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限，故选：D.3．若向量满足，，，则（   ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根据向量垂直数量积为0，结合数量积公式求解即可.【详解】因为，，故，即，.又，故，故.故.故选：B4．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为，若，且，则A=（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由诱导公式根据正弦定理可得，从而可得，由余弦定理可得，从而可得结果.【详解】由得，由正弦定理得，，则，由余弦定理得，，由得，故选：A.5．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行.若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为（     ）A． B． C． D．【答案】A【解析】列出四张卡片随机排成一行所有样本点，满足条件的样本点1种，即可求出结论.【详解】由题意，样本点空间为｛，，，，，，，，，，｝.所以共有12种不同排法，而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率.故选:A.【点睛】本题考查古典概型的概率，准确列出样本点是解题的关键，属于基础题.6．已知函数在区间上的最小值为，则ω的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得的范围，因此在这个范围内，从而可得的范围．【详解】因为，函数在区间上的最小值为，所以时，，所以，，时，，所以，，所以的范围是．故选：D．【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质，掌握正弦函数的最值是解题关键．7．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为的周期函数，并求得的值，将所求式子利用周期进行转化即可求得所求值.【详解】图象关于点对称，，又为上的偶函数，，，，是周期为的周期函数，，又，，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够根据函数的奇偶性和对称性推导得到函数的周期，进而将自变量转化到已知函数解析式的区间中，从而结合解析式求得函数值.8．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．在综合实践活动中，某小组在超市中测量出一“方斗”的上底面内侧边长为8dm，下底面内侧边长为2dm，侧棱长为6dm．将“方斗”内的大米铺平（即与下底面平行），测得铺平后的大米所在的四边形边长为6dm．已知1kg大米的体积约为，则方斗内剩余的大米质量约为（参考数据：，，结果保留整数）（    ）A．30kg B．36kg C．45kg D．52kg【答案】B【分析】根据四棱台的体积公式即可求解.【详解】如图，平面为大米铺平后所在的平面．连接，，．分别取，的中心（它们分别在，上），连接，则与平面的交点必在上且为的中心．在正四棱台的对角面中，，，，，易得，分别为，的三等分点，，，所以．又因为1kg大米的体积约为，所以方斗内剩余的大米质量约为（kg）．故选:B．9．若函数f (x)＝x2，设a＝log54，b＝，c＝，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是（    ）A．f (a)>f (b)>f (c) B．f (b)>f (c)>f (a)C．f (c)>f (b)>f (a) D．f (c)>f (a)>f (b)【答案】D【分析】先得出函数f (x)＝x2在(0，＋∞)上的单调性，再比较对数式和指数式之间的大小，可得选项.【详解】因为函数f (x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，而0<＝log53<log54<1<，所以f (b)<f (a)<f (c)．故选：D.【点睛】本题考查对数式、指数式比较大小，根据函数的单调性得出函数值的大小关系，属于中档题. 二、多选题10．某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（    ）A．当时，取得最小值B．当时，取得最小值C．D．【答案】AC【分析】根据题意列出总存储费用之和的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项【详解】一年购买某种货物吨，每次购买吨，则需要购买次，又运费是万元/次，一年的总存储费用为万元，所以一年的总运费与总存储费用之和万元.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，取得最小值，.故选：AC.11．年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重（单位：）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ）A．这头生猪体重的众数为B．这头生猪中体重不低于的有头C．这头生猪体重的中位数落在区间内D．这头生猪体重的平均数为【答案】BCD【分析】利用最高矩形底边的中点值作为众数可判断A选项的正误；计算出生猪中体重不低于所占的频率，乘以可判断B选项的正误；根据中位数左边的矩形面积之和为可判断C选项的正误；根据频率分布直方图计算出样本数据的平均数，可判断D选项的正误.【详解】由频率分布直方图可知，这一组的数据对应的小长方形最高，所以这头生猪的体重的众数为，A错误；这头生猪中体重不低于的有（头），B正确；因为生猪的体重在内的频率为，在内的频率为，且，所以这头生猪体重的中位数落在区间内，C正确；这头生猪体重的平均数为，D正确．故选：BCD.【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，频率=组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和． 三、单选题12．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题不正确的是（    ）.A．直线与平面所成的角等于B．点到面的距离为C．两条异面直线和所成的角为D．三棱柱外接球半径为【答案】C【分析】对于A，由直线与平面夹角的定义可知即为直线与平面所成的角，结合正方体性质即可得解；对于B，由平面，可知到面的距离为长度的一半，即可求解；对于C，由于，则异面直线和所成的角为，根据边的关系即可得解；对于D，正方体的外接球即为三棱柱外接球，由外接球性质即可得解.【详解】正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故A正确；对于B，因为平面，点到面的距离为长度的一半，即，故B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故D正确．综上可知，不正确的为C，故选：C.【点睛】本题考查了空间结构体线面位置关系的综合应用，直线与平面的夹角，直线与平面垂直性质，点到平面距离及三棱柱外接球的求法，属于中档题. 四、填空题13．已知命题“，”，若是真命题，则实数a的取值范围是          .【答案】【分析】根据特称命题的否定为全称命题，结合二次函数的恒成立问题求解即可.【详解】命题“，”为真命题，则恒成立.当时，恒成立，，解得.综上.故答案为：14．已知，则      .【答案】/【分析】利用诱导公式得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，所以.故答案为：.15．给出定义：如果函数的定义域为，值域也是，那么称函数为“保域函数”.下列函数中是“保域函数”的有          （填上所有正确答案的序号）.①，；②，；③，；④，.【答案】①③④【分析】根据函数的单调性与最值分析值域，结合“保域函数”的定义判断即可.【详解】①在上单调递增，代入可得值域为，所以①是“保域函数”；②，所以在上最小值为，所以不是“保域函数”；③是上的递增函数，代入可得值域，所以是“保域函数”；④是上的递增函数，代入可得值域，所以是“保域函数”.故答案为：①③④16．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则的值为      ．【答案】0【分析】根据函数的最小正周期求出，求出图象平移、伸缩变化后的解析式，再由对称轴方程可得答案.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，，将函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得，因为所得函数图象的一条对称轴方程是，所以，可得，因为，所以.故答案为：0. 五、解答题17．已知函数（，且）的图象经过点，.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求函数的值域【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将给定的点代入函数式，再解方程组作答.（2）由（1）求出函数的解析式，判断函数单调性求解作答.【详解】（1）依题意，，而，解得，即有，所以函数的解析式是.（2）由（1）知，，因函数和在上都单调递增，因此函数在上单调递增，，所以函数的值域为.18．已知的内角所对的边分别为，且满足．(1)求角B的大小；(2)若，设的面积为S，满足，求b的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得角大小；（2）由三角形面积公式得，再由正弦定理可求得．【详解】（1）由，得，根据正弦定理，得．因为，所以，所以．因为，所以，所以，则．（2）由，得．又由正弦定理得，所以，解得．19．为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取张进行统计，将结果分成6组，分别是：，，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）.（1）若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自元和元区间（两区间都有）的概率；（2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案.方案一：全场商品打八五折.方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由.【答案】(1) ;(2) 详见解析.【详解】试题分析:(1)由直方图可知, 按分层抽样在内抽6张，则内抽4张，在内抽2张，分别列举从中任选2张和满足条件的基本事件,根据古典概型求出概率;(2) 由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05,分别计算出两种方案的平均费用,对比可得答案.试题解析:（1）由直方图可知，按分层抽样在内抽6张，则内抽4张，记为，在内抽2张，记为，设两张小票来自和为事件，从中任选2张，有以下选法：共15种.其中，满足条件的有，共8种，∴. （2）由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.方案一购物的平均费用为：（元）.方案二购物的平均费用为：（元）.∴方案二的优惠力度更大.20．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.(1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?【答案】(1)，候车厅候车人数为4200人(2)时，需要提供的矿泉水瓶数最少 【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案；（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.【详解】（1）当时，设，，则，.，故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.（2），①当时，，当且仅当时等号成立；②当时，；又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.21．已知函数满足，其中，将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像.(1)求；(2)求函数的解析式；(3)求在上的最值及相应的x值.【答案】(1)2(2)(3)当时，取得最小值，当时，取得最大值 【分析】（1）根据条件求出 ；（2）根据函数图像的伸缩变换的规则求出 ；（3）用整体代入法分析函数 的单调性和图像，求出最大值和最小值以及对应的x值.【详解】（1）函数，又，，，解得，又，；（2）由（1）知，函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数）的图像；再将得到的图像向左平移个单位，得到的图像，函数；（3）当时，，，由（2）知，函数的大致图像如图：所以当时，取得最小值，当时，取得最大值.22．如图1，在梯形中，，点E在线段上，，将沿翻折至的位置，连接，点F为中点，连接，如图2，  (1)在线段上是否存在一点Q，使平面平面?若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由；(2)当平面平面时，求三棱锥的体积，【答案】(1)存在，Q是的中点(2) 【分析】（1）利用线面平行与面面平行的判定定理证明即可；（2）利用余弦定理与勾股定理证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到F到平面的距离，再利用等体积法即可得解.【详解】（1）当Q是的中点时，平面平面，理由如下：如图，连接，依题意得，且，则，所以四边形是平行四边形，则，又平面平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，又平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，.  （2）取的中点M，连接，因为，则，所以为边长为2的等边三角形，则，因为，所以由余弦定理得，所以在中，，则，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为F为的中点，所以F到平面的距离，所以.