江苏省盐城市大丰区飞达路中学2021-2022学年上学期八年级第一次学情检测数学试卷（Word版含答案）

这是一份江苏省盐城市大丰区飞达路中学2021-2022学年上学期八年级第一次学情检测数学试卷（Word版含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省盐城市大丰区飞达路中学八年级（上）
第一次学情检测数学试卷（含答案与解析）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）

A．50° B．58° C．60° D．72°
3．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．（3分）在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25° B．25°或40° C．25°或 35° D．40°
5．（3分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）

A． B． C．a﹣b D．b﹣a
6．（3分）如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，则PD的大小关系是（　　）

A．PD≥3 B．PD＝3 C．PD≤3 D．不能确定
7．（3分）△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠ACD＝86°，则∠ABC＝　 　°．

10．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为　 　．

11．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE的面积为　 　．

12．（3分）如图，从镜子中看到一钟表为2：30，此时的实际时刻是　 　．

13．（3分）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝10cm，CF＝6cm，则BD＝　 　cm．

14．（3分）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为 　 　cm．
15．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，点G、E在BC上，则∠GAE的度数为 　 　．

16．（3分）如图，直角三角形ABC在，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 　 　．

三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．

18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AB＝CF．求证：CE⊥AB．

19．（4分）如图，DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝1，求EC的长．

20．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，AE＝AF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE＝30°，求∠ADC的度数．

21．（8分）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长．

22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．
（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．

23．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．

24．（8分）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，M是BC上的一点，连接DM、AM，且AM、DM分别平分∠DAB和∠ADC，试判断BM和CM的大小关系，并说明理由．

25．（10分）已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．
（1）求证：CE＝CB；
（2）如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明．

26．（6分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．

27．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？

2021-2022学年江苏省盐城市大丰区飞达路中学八年级（上）
第一次学情检测数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）

A．50° B．58° C．60° D．72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
4．（3分）在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25° B．25°或40° C．25°或 35° D．40°
【分析】根据题意先画出图形，再分两种情况：50°为底角和50°为顶角求出答案．
【解答】解：当50°为底角时，

∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，

∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用．
5．（3分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）

A． B． C．a﹣b D．b﹣a
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD解答．
6．（3分）如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，则PD的大小关系是（　　）

A．PD≥3 B．PD＝3 C．PD≤3 D．不能确定
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PC，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE＝PC＝3，
∵D在OB上，
∴PD≥PE，
∴PD≥3．
故选：A．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出辅助线更形象直观．
7．（3分）△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】和△ABC全等，那么必然有一边等于3，有一边等于，又一角等于45°．据此找点即可，注意还需要有一条公共边．
【解答】解：分三种情况找点，

①公共边是AC，符合条件的是△ACE；
②公共边是BC，符合条件的是△BCF、△CBG、△CBH；
③公共边是AB，符合条件的三角形有，但是顶点不在网格上．
故选：D．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，思考要全面，不重不漏．
8．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠ACD＝86°，则∠ABC＝　92　°．

【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCB，求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DBC，
∴∠ACB＝∠DCB，
∵∠ACD＝86°，
∴∠ACB＝43°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝92°，
故答案为：92．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
10．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为　2　．

【分析】根据全等三角形的性质得到DB＝AC＝7，结合图形计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴DB＝AC＝7，
∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE的面积为　5　．

【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5．
故答案为：5．

【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
12．（3分）如图，从镜子中看到一钟表为2：30，此时的实际时刻是　9：30　．

【分析】关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果可得答案．
【解答】解：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30，
故答案为：9：30．
【点评】此题主要考查了镜面对称，动手操作可以直观的得到答案．
13．（3分）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝10cm，CF＝6cm，则BD＝　4　cm．

【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．
【解答】解：∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF，
∵AB＝10cm，CF＝6cm，
∴BD＝AB﹣AD＝4cm．
故答案为：4
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（3分）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为 　12　cm．
【分析】根据题意，分腰长为8cm和底边为8cm两种情况并结合三角形的构成条件分类讨论即可．
【解答】解：若腰长为8cm，则此三角形的另一边长为32﹣8﹣8＝16（cm），
而8+8＝16，无法构成三角形，
∴此情形舍去；
若底边为8cm，则腰长为（32﹣8）÷2＝12（cm），
此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形的构成条件、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想，根据题意结合三角形构成条件进行分类讨论是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，点G、E在BC上，则∠GAE的度数为 　20°　．

【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE＝AE，AG＝CG，求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠GAC，求出∠B+∠C＝∠BAE+∠GAC＝100°，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，
∴BE＝AE，AG＝CG，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠GAC，
∴∠BAE+∠GAC＝100°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠GAE＝∠BAE+∠GAC﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解此题的关键．
16．（3分）如图，直角三角形ABC在，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 　30°或45°　．

【分析】分两种情况：当点E在AB上时，有直角三角形的性质可得∠CAD＝30°，当∠BDE＝90°时，即E在△ACB外时，由折叠可得：AE＝AC，∠EAC＝90°，∠ADC＝∠ADE＝45，AD平分∠CAE，即∠CAD＝45°．
【解答】解：分两种情况：如图，

①当∠BED＝90°时，点E在AB上时，
∵∠BAC＝60°
∴∠CAD＝∠BAC＝30°
②当∠BDE＝90°时，即E在△ACB外时，如图，

由折叠可得：
AE＝AC，
∵∠C＝∠E＝90°
∴∠EAC＝90°，
∠ADC＝∠ADE＝×90°＝45，
AD平分∠CAE，
∴∠CAD＝45°，
∠DBE不可能为直角．
故答案为30°或45°．
【点评】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点．
三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．

【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可；
（2）连接B1C与DE交于点P，则点P即为所求点；
（3）作AC的中垂线与DE交于点Q，则点Q即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；


（2）连接B1C，B1C与DE的交点即为点P；

（3）作AC的中垂线，与DE的交点即为所求点Q．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称图形的作法是解答此题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AB＝CF．求证：CE⊥AB．

【分析】先证Rt△ADB≌Rt△CDF（HL），得出∠BAD＝∠DCF，则可得出结论．
【解答】证明：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠CDF＝90°，
在Rt△ADB和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△CDF（HL），
∴∠BAD＝∠DCF，
∵∠AFE＝∠DFC，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴CE⊥AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明Rt△ADB≌Rt△CDF是解题的关键．
19．（4分）如图，DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝1，求EC的长．

【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数；
（2）利用角平分线的性质求线段长．
【解答】解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴∠B＝∠BAE＝30°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝30°，
∴∠ACB＝90°．
（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴EC＝ED＝1．
【点评】本题考查垂直平分线，角平分线的性质，掌握这两个性质的熟练应用，由已知条件推相应的结论是解题关键．
20．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，AE＝AF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE＝30°，求∠ADC的度数．

【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEB＝∠AFC，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠AEF+∠AEB＝∠AFE+∠AFC＝180°，
∴∠AEB＝∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAF＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝75°．
答：∠ADC的度数为75°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．（8分）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长．

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DBF，△ECF是等腰三角形，从而可得DB＝DF＝9cm，EC＝EF，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACG，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCG，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠DFC＝∠ACF，
∴DB＝DF＝9cm，EC＝EF，
∵DE＝4cm，
∴EC＝EF＝DF﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴CE的长为5cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．
（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝70°，求得∠A＝40°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN＝BN，进而得出∠ABN＝∠A＝40°，根据三角形内角和定理就可得出∠ANB＝100°，根据等腰三角形三线合一就可求得∠MNA＝50°；
（2）根据△NBC的周长＝BN+CN+BC＝AN+NC+BC＝AC+BC就可求得．
【解答】（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠ABN＝∠A＝40°，
∴∠ANB＝100°，
∴∠MNA＝50°；

（2）①∵AN＝BN，
∴BN+CN＝AN+CN＝AC，
∵AB＝AC＝8cm，
∴BN+CN＝8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC＝14﹣8＝6cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及轴对称的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．

【分析】先根据已知证明△ABD≌△CAE，从而得到AD＝EC，BD＝AE，因为AE＝AD+DE＝CE+DE＝BD从而得到了结论BD＝DE+CE．
【解答】证明：∵∠CAE+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD．
∵∠ADB＝∠AEC＝90°，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE．
∴AD＝CE，BD＝AE．
∵AE＝AD+DE＝CE+DE，
∴BD＝DE+CE．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．证明线段的和差问题往往通过三角形全等来证明，要掌握这种重要的方法．
24．（8分）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，M是BC上的一点，连接DM、AM，且AM、DM分别平分∠DAB和∠ADC，试判断BM和CM的大小关系，并说明理由．

【分析】过点M作MN⊥AD于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BM＝MN，CM＝MN，然后求解即可．
【解答】解：如图，过点M作MN⊥AD于N，
∵AM、DM分别平分∠DAB和∠ADC，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴BM＝MN，CM＝MN，
∴BM＝CM．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
25．（10分）已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．
（1）求证：CE＝CB；
（2）如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明．

【分析】（1）根据题意，平行线的性质和角平分线的性质可以证明结论成立；
（2）先写出BE与AC的关系，再根据题意和图形，利用线段的垂直平分线的判定即可证明．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE＝CB；
（2）AC垂直平分BE，
证明：由（1）知，CE＝CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA＝∠CBA＝90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE＝AB，CE＝CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．

【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．（6分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．

【分析】（1）根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE＝∠CDE＝60°即可．
（2）连接MC，可得△MDC是等边三角形，可求证∠EMC＝∠ADC．再证明△ADC≌△EMC即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°﹣15°＝30°，∠ABD＝∠ABC﹣15°＝30°，
∴BD＝AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC＝BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝15°+45°＝60°，
∴∠BDE＝∠DBA+∠BAD＝60°；
∴∠CDE＝∠BDE，
即DE平分∠BDC．

（2）如图，连接MC．

∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD．∠DMC＝∠MDC＝60°，
∵∠ADC+∠MDC＝180°，∠DMC+∠EMC＝180°，
∴∠EMC＝∠ADC．
又∵CE＝CA，
∴∠DAC＝∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME＝AD＝BD．
【点评】此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．
27．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【分析】（1）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（2）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；

（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，

则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．