湖南省长沙市长郡教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份湖南省长沙市长郡教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共11页。
命题学校：长郡芙蓉中学 审题学校：长郡滨江中学
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，是无理数的是
A．B．0C．D．
2．某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过29600000次，将数据29600000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．下列事件是必然事件的是
A．四边形内角和是
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
4．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“大雪”、“芒种”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
5．要使二次根式有意义，则x的取值范围是
A．B．C．D．
6．不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
7．如图，线段是的直径，于点E，若弦长为16，长为6，则的半径是
A．5B．6C．8D．10
8．已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的面积是
A．15B．10C．5D．2.5
9．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为
A．2B．5C．1D．5或1
10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知和关于原点对称，则________．
12．在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是________．
13．一元二次方程的一根为3，则m的值为________．
14．如图，在中，弦，点A是圆上一点，且，则的半径是________．
15．如图，将绕点C顺时针旋转得到，若点A恰好在的延长线上，，则的度数为________．
16．如图，二次函数的图象与x轴相交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是________．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值，其中．
19．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）
（1）以坐标原点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出，写出点的坐标；
（2）求旋转过程中点C经过的路径长．
20．2022年虎年新春，中国女足3:2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军。2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有________名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是________；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲同学和乙同学同时被选中的概率是多少？
21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，点A的坐标为．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标．
22．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完．要使总利润不少于6180元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？
23．如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）若，，求半圆O的半径及阴影部分的面积．
24．新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点．则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线上存在的“朴实点”是．
（1）判断直线上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；
（2）若抛物线上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为，求k的值；
（3）若二次函数的图象上存在唯一的“朴实点”，且当时，n的最小值为，求t的值。
25．如图，内接于，，弦与交于点E，，过点A作于点F．
（1）判断与的大小关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
2023年秋季九年级期中限时检测试卷
数学参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．1 12．0.7 13．7 14．2 15． 16．
三、解答题
17．解：
．
18．解：原式，
当时，原式．
19．解：（1）如图，即为所求，
点的坐标为．
（2），
点C经过的路径长为．
20．解：（1）本次被调查的学生人数为（名）
选择“足球”的人数为（名）．
补全条形统计图如下：
（2）“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲同学和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲同学和乙同学同时被选中的概率为．
21．解：（1）把，代入得：
解得
抛物线的表达式为，
对称轴为直线．
（2）令，则或4，．
，
直线的表达式为．
设，，
轴，
，
，
开口向下，对称轴为直线·
当时，，此时
当点P的坐标为时，线段的最大值是4．
22．解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元．
根据题意，得解得
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元．
（2）设购进甲型头盔m个，则购进乙型头盔个．
根据题意，得
解得：．
为整数，可取80、81、82、83、84共5个，所以该商场有5种采购方案．
设总利润为W元，
则．
，随m的增大而减小，
当时，元．
答：该商场有5种采购方案，购进甲型头盔80个、购进乙型头盔120个时利润最大，最大利润为6200元．
23．解：（1）证明：连接，如图，
点C为的中点，
，
，
又，
，
又，
，
又为半圆O的半径，是半圆O的切线．
（2）连接，，
，
，
，，
为半圆O的直径，
，
，
，，
半圆O的半径为2．
，
，
，
是等边三角形，
，
．
24．解：（1）直线上有“朴实点”，是．
（2）由题意得方程有两个根，即方程有两个根，
，
，且，
，，
两个“朴实点”之间的距离为，
，
解得：．
（3）二次函数的图象上存在唯一的“朴实点”，
二次方程有两个相同的根，
变形为，
，
，
该函数图象开口向上，对称轴为直线，
①当对称轴是直线时，函数在时，取得最小值，
即：，
解得：，（舍去）；
②当对称轴是时，函数在时，取得最小值，
即：，
，此方程无解；
③当对称轴是时，函数在时，取得最小值，
即：，
解得：．
综上所述，t的值为7或．
25．解：（1），理由如下：
，
，
，
，
．
（2）证明：在上取一点H，使得，连接，．
由（1）知，
，
:，
，
，
，
，
，
，
．
（3），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
B
B
D
A
D
C