广西专用高考数学一轮复习考点规范练26平面向量基本定理及向量的坐标表示含解析新人教A版文

考点规范练26　平面向量基本定理及向量的坐标表示

基础巩固

1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是(　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

2.(2021贵州花溪模拟)已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于(　　)

A.2 B.-2

C.3 D.-3

3.在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则=(　　)

A. B.

C. D.

4.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则等于(　　)

A.(-2,7) 

B.(-6,21)

C.(2,-7) 

D.(6,-21)

5.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)

A.(-∞,2)

B.(2,+∞)

C.(-∞,+∞)

D.(-∞,2)∪(2,+∞)

6.(2021山东潍坊三模)如图,在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)

A.- B.1

C. D.

7.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且∠AOC=,且|OC|=2.若=λ+μ,则λ+μ=(　　)

A.2 B.

C.2 D.4

8.(2021安徽滁州模拟)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,则a+b=　　　　　. 

9.已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　　. 

10.如图,在▱ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点.已知=c,=d,则=　　　　　,=　　　　　.(用c,d表示) 

能力提升

11.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若=x+(1-x),则x的取值范围是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

12.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(0,-2)

C.(-2,0) D.(0,2)

13.(2021江苏南通模拟)如图,点C在半径为2的上运动,∠AOB=.若=m+n(m,n∈R),则m+n的最大值为(　　)

A.1 B.

C. D.

14.已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(0,2),|OB|2+|OA|2=20,若平面内点P满足=3,则|PO|的最大值为(　　)

A.7 B.6

C.5 D.4

15.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且3a+4b+5c=0,则a∶b∶c=　　　　　. 

高考预测

16.(2021湖北襄阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为(　　)

A.30° B.60°

C.90° D.120°

答案：

1.B　解析由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.

2.A　解析如图所示,建立平面直角坐标系,

则=(1,0),=(2,-2),=(1,2).

因为=λ+μ,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),

所以解得所以λ+μ=2.

3.B　解析因为在▱ABCD中,有,

所以)=(-1,12)=,故选B.

4.B　解析如图,取BP的中点D,连接AD,则=2=3=3()=3(2)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).

5.D　解析因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D.

6.D　解析∵)=,

又=λ+μ不共线,

∴根据平面向量基本定理可得λ=,μ=-,∴λ+μ=.

7.A　解析因为A(1,0),|OC|=2,∠AOC=,C为坐标平面第一象限内一点,所以C().

又因为=λ+μ,

所以()=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ).

所以λ=μ=,所以λ+μ=2.

8.　解析a+2b=(2m-1,4),2a-b=(-2-m,3).

∵向量a+2b与2a-b平行,∴4(-2-m)-3(2m-1)=0,

解得m=-,则a+b=.

9.(3,3)　解析(方法1)由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ)(λ∈R),

则=(4λ-4,4λ).

又因为=(-2,6),

由共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,

所以=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).

(方法2)设点P(x,y),则=(x,y).

因为=(4,4),且共线,所以,即x=y.

又因为=(x-4,y),=(-2,6),且共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,

所以点P的坐标为(3,3).

10.(2d-c)　(2c-d)　解析设=a,=b.

因为M,N分别为DC,BC的中点,

所以b,a.

又所以

即(2d-c),(2c-d).

11.D　解析依题意,设=λ,其中1<λ<,

则+λ+λ()=(1-λ)+λ.

又=x+(1-x),且不共线,

于是有x=1-λ∈,即x的取值范围是.

12.D　解析∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

∴a=-2p+2q=(2,4).

令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

则解得

13.C　解析以O为原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略),

则有=(2,0),=(1,).

设∠AOC=α,则=(2cosα,2sinα).

由题意可知

故m+n=cosα+sinα=sin.

因为α∈,所以α+,

所以m+n的最大值为.

14.C　解析设P(x,y),B(m,n),则=(m-x,n-y),=(-x,2-y).

由=3,可得

因为|OB|2+|OA|2=20,所以4x2+(6-2y)2+4=20,整理得x2+(y-3)2=4,

故点P的轨迹为圆心为(0,3),半径为2的圆.故|PO|的最大值为3+2=5.

15.20∶15∶12　解析∵3a+4b+5c=0,

∴3a()+4b+5c=0.

∴(3a-5c)+(3a-4b)=0.

在△ABC中,∵不共线,

∴解得

∴a∶b∶c=a∶a∶a=20∶15∶12.

16.B　解析因为p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,

所以cosC=.

又因为0°<C<180°,所以C=60°.