湖北省襄阳市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题

这是一份湖北省襄阳市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题，共59页。试卷主要包含了，其中x＝，y＝﹣1，先化简，再求值，，其中a＝﹣，b＝+，之间的关系如图所示等内容，欢迎下载使用。
湖北省襄阳市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．
二．分式的化简求值（共1小题）
2．（2021•襄阳）先化简，再求值：，其中x＝+1．
三．二次根式的混合运算（共1小题）
3．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．
四．分式方程的应用（共1小题）
4．（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
五．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
5．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

（2）探究函数性质
请写出函数y＝﹣|x|的一条性质：　 　；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程﹣|x|＝5的解 　 　；
②写出不等式﹣|x|≤1的解集 　 　．
六．一次函数的应用（共3小题）
6．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．

7．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值．
8．（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．

七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2021•襄阳）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m


…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y随x的增大而减小：　 　．
②函数图象关于原点对称：　 　．
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点：　 　．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
10．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为　 　．

九．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．


12．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．

13．（2020•襄阳）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

一十．三角形综合题（共1小题）
14．（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝　 　°；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．

一十一．四边形综合题（共1小题）
15．（2022•襄阳）矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】
（1）如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
【类比探究】
（2）如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
【拓展运用】
（3）如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．


一十二．直线与圆的位置关系（共1小题）
16．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．

一十三．切线的判定与性质（共1小题）
17．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．

一十四．作图—基本作图（共2小题）
18．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AD＝AE．

19．（2021•襄阳）如图，BD为▱ABCD的对角线．
（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF为菱形．

一十五．几何变换综合题（共1小题）
20．（2021•襄阳）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现
如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．
①求证：∠DAC＝∠EBC；
②填空：的值为 　 　；
（2）类比探究
如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，求CG的长．

一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若＝，CG＝2，求阴影部分的面积．

一十七．解直角三角形的应用（共1小题）
22．（2020•襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
23．（2022•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

24．（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41）．

一十九．频数（率）分布直方图（共2小题）
25．（2022•襄阳）在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80．
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
组别
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
A学校
5
15
x
8
4
B学校
7
10
12
17
4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征数
平均数
众数
中位数
方差
A学校
74
75
y
127.36
B学校
74
85
73
144.12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是 　 　调查（选填“抽样”或“全面”）；
（2）统计表中，x＝　 　，y＝　 　；
（3）补全频数分布直方图；
（4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 　 　学校（选填“A”或“B”）；
（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有 　 　人．

26．（2020•襄阳）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是　 　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　 　分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为　 　人．

二十．方差（共1小题）
27．（2021•襄阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
（1）收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
（2）整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
分数x
人数
年级
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
（3）分析数据．
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
c
33.2
根据以上提供的信息，解答下列问题：
①填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，　 　同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
③从样本数据分析来看，分数较整齐的是 　 　年级（填“七”或“八”）；
④如果七年级共有400人参赛，则该年级约有 　 　人的分数不低于95分．

湖北省襄阳市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．
【解答】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2
＝6xy，
当x＝，y＝﹣1时，原式＝6××（﹣1）＝6﹣6．
二．分式的化简求值（共1小题）
2．（2021•襄阳）先化简，再求值：，其中x＝+1．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝1+．
三．二次根式的混合运算（共1小题）
3．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．
【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2
＝6ab，
∵a＝﹣，b＝+，
∴原式＝6ab
＝6×（﹣）（+）
＝6．
四．分式方程的应用（共1小题）
4．（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
【解答】解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，
依题意，得：﹣＝3，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴x＝8．
答：现在每天用水量是8吨．
五．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
5．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　1　．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

（2）探究函数性质
请写出函数y＝﹣|x|的一条性质：　y＝﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）　；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程﹣|x|＝5的解 　x＝1或x＝﹣1　；
②写出不等式﹣|x|≤1的解集 　x≤﹣2或x≥2　．
【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a＝﹣|2|＝1，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：

（2）观察函数图象可得：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称，
故答案为：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，
∴﹣|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，
故答案为：x＝1或x＝﹣1；
②观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥2时，y≤1，
∴﹣|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
六．一次函数的应用（共3小题）
6．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．

【解答】解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得，，
解得，
∴y＝13x+4000．
∴y＝．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣13）x＝2x+24000，
∵2＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为2×4000+24000＝32000（元），
综上，w＝；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为32000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣13﹣2a）x＝（1﹣a）x+24000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+24000﹣6000a≥15000，解得a≤1.3．
∴a的最大值为1.3．

7．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得；
（2）①由题意得，y1＝（5﹣3.5）x＝1.5x（80≤x≤120），
当300﹣x≤200时，100≤x≤120，y2＝（8﹣6）×（300﹣x）＝﹣2x+600；
当300﹣x＞200时，80≤x＜100，y2＝（8﹣6）×200+（7﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣x+500；
∴；
②由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中80≤x≤120，
∵当0.5﹣m≤0时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意，
∴0.5﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W的值最小，
由题意得，（0.5﹣m）×80+300≥320，
解得m≤0.25，
∴m的最大值为0.25．
8．（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．

【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x，根据题意得50k1＝1500，
解得k1＝30；
∴y＝30x；
当x＞50时，设y＝k2x+b，
根据题意得，
，解得，
∴y＝24x+300．
∴y＝，

（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，
∴40≤a≤60，
当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．
当a＝40 时．wmin＝2700 元，
当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．
当a＝60时，wmin＝2740 元，
∵2740＞2700，
∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．
此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．

（3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克
当时，即0≤a≤125，
则甲种水果的进货价为30元/千克，
（40﹣30）×a+（36﹣25）×≥1650，
解得a≥，
与0≤a≤125矛盾，故舍去；
当时，即a＞125，
则甲种水果的进货总成本是（9.6a+300）元，
≥1650，
解得a≥150，
∴a的最小值为150．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2021•襄阳）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝　1　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m


…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y随x的增大而减小：　×　．
②函数图象关于原点对称：　×　．
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点：　√　．
【解答】解：（1）①x＝0时，y＝＝1，
故答案为：1；
②如图：

∵m＝1，
∴A即为（0，m）的点；
③补充图象如图：

（2）根据函数图象可得：
①每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①错误，应为×，
②图象关于（﹣1，0）对称，故②错误，应为×，
③x＝﹣1时，无意义，函数图象与直线x＝﹣1没有交点，应为√．
故答案为：×，×，√．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
10．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝　4　，n＝　2　；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为　2　．

【解答】解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，
∴y＝，
∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，
解得n＝2；
故答案为4，2；
（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，
解得：k＝﹣2，b＝6，
即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．
由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM＝|m|＝＝2，
故答案为2．
九．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．


【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．
①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，

设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，
∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．
②当≤m≤1+时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．
∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
12．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，
如图1，过点P作PN⊥y轴于N，

∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，
如图2，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，
如图3，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，
如图4，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．
②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞（不合题意舍去）；
当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜且a≠0或a＞．
13．（2020•襄阳）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，
∴C（4，0），
把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令y＝0，得＝0，
解得，x＝4，或x＝﹣2，
∴B（﹣2，0）；

（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，
设M（a，），则N（a，），
∴＝，
∵，
∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；

方法二：连接OM，如图2，
设M（a，），
S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM
＝
＝，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；

（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图3
∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，
∴O′（m，m），A′（m+2，m），
当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，
解得，m＝﹣3，
当点O′（m，m）在抛物线上时，有，
解得，m＝﹣4或2，
∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．
一十．三角形综合题（共1小题）
14．（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝　90　°；
（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．

【解答】（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFC，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD＝CF．

②结论：∠ACE＝90°．
理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝45°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°．
故答案为90．

（2）结论：∠ACE＝90°．
理由：如图2中，

∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝45°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°．

（3）如图3中，连接EK．

∵∠BAC+∠ACE＝180°，
∴AB∥CE，
∴＝＝，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a﹣，
∵DA＝DE，DK⊥AE，
∴AP＝PE，
∴AK＝KE＝3a﹣，
∵EK2＝CK2+EC2，
∴（3a﹣）2＝（）2+a2，
解得a＝4或0（舍弃），
∴EC＝4，AB＝AC＝12，
∴AE＝＝＝4，
∴DP＝PA＝PE＝AE＝2，EF＝AE＝，
∴PF＝EF＝，
∵∠DPF＝90°，
∴DF＝＝＝5．
一十一．四边形综合题（共1小题）
15．（2022•襄阳）矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】
（1）如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
【类比探究】
（2）如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
【拓展运用】
（3）如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．


【解答】（1）证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°，
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB＝90°，
∵∠5+∠AEB＝90°，
∴∠5＝∠6，
∵AB＝BC，BH＝BE，
∴AH＝EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠DCF＝∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
∴＝，
∵＝，E是BC边的中点，
∴EC＝HB＝BC，
∴AH＝AB﹣BC＝（﹣）BC，
∴＝k﹣1；
（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，
∵k＝3，
∴＝，
设AB＝3a，则BC＝2a，
∵∠CAP＝45°，
∴∠P'AP＝90°，
连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，
∵AH＝AD＝2a，
∴BH＝a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝a，
∴HE＝a，∠BHE＝45°，
∴∠P'HE＝135°，
∵CG＝EC＝a，
∴∠GEC＝45°，
∴∠PGE＝135°，
∵AP'＝AP，∠PAE＝∠P'AE，AE＝AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE＝P'E，
∴△PEG≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG＝∠P'EH，
∵∠HEG＝∠EGH＝45°，
∴∠HEG＝90°，
∴∠PEP'＝90°，
∴∠AEP＝∠AEP'＝45°，
∴∠APE＝∠AP'E＝90°，
∴四边形APEP'是正方形，
∴AP＝PE，
∵∠DAP+∠APD＝90°，∠APD+∠EPC＝90°，
∴∠DAP＝∠EPC，
∵AP＝PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD＝PC＝2a，PD＝ED＝a，
∴PE＝a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
∴＝＝＝2，
∵AE＝a，
∴EF＝a，
∵∠HEG＝∠AEF＝90°，
∴∠HEA＝∠GEF，
∵∠PEG＝∠P'EH，
∴∠PEF＝∠P'EH＝45°，
过点P作PK⊥AE交于K，
∵EF⊥AE，
∴PK∥EF，
∵PK＝a，
∴PK＝EF，
∴四边形PKEF是矩形，
∴PF＝KE，
∵PF＝，
∴a＝，
∴a＝，
∴BC＝2．


一十二．直线与圆的位置关系（共1小题）
16．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，
∵＝，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF＝CD＝，
∴BE＝2，
∴AE＝＝＝2，
∴AE＝AB，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵＝，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
连接CE，
∵OE＝OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△COE，
∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝1，
∴AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣．

一十三．切线的判定与性质（共1小题）
17．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵DF是圆O 的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DC⊥OE，
∴DG＝CD＝×6＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°，
在Rt△ODG中，
∵sin∠DOG＝，cos∠DOG＝，
∴OD＝＝＝2，
OG＝OD•cos∠DOG＝2×＝，
∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG＝﹣××3＝2π﹣．

一十四．作图—基本作图（共2小题）
18．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AD＝AE．

【解答】（1）解：如图所示．

（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
19．（2021•襄阳）如图，BD为▱ABCD的对角线．
（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF为菱形．

【解答】（1）解：如图，EF为所作；

（2）证明：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF为菱形．
一十五．几何变换综合题（共1小题）
20．（2021•襄阳）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．
（1）特例发现
如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．
①求证：∠DAC＝∠EBC；
②填空：的值为 　1　；
（2）类比探究
如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，求CG的长．

【解答】解（1）①如图1，延长AD交BE于F，
由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，
∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°，
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠DAC＝∠EBC；

②由①知，∠DAC＝∠EBC，
∵m＝1，
∴AC＝BC，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴CD＝CE，
∴＝1，
故答案为1．

（2）如图2，延长AD交BE于F，
由（1）①知，∠DAC＝∠EBC，
∵∠ACG＝∠BCE，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝m；

（3）由折叠知，∠AFB＝90°，BF＝FE，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥CE，
∴∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，
由（2）知，△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝90°，＝＝2m＝，
∴＝tan∠GAC＝＝，
设CG＝x，则AG＝x，BE＝2x，
∴AG＝CE，
∴△AGH≌△ECH（AAS），
∴AH＝EH，GH＝CH，
∴GH＝x，
在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AH＝＝x，
∵EB•EH＝6，
∴2x•x＝6，
∴x＝或x＝﹣（舍），
即CG＝．


一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若＝，CG＝2，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，

∵点D为的中点，
∴OD⊥BC
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图所示，

∵＝，
∴BD＝AC
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴的度数＝的度数＝的度数＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACG中，tan∠CAD＝，sin
∴CA＝，AG＝
∵CG＝2，
∴CA＝2×＝6，AG＝4．
∴BD＝CA＝6，
∴S△ACG＝CG•AC＝6．
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，
∴AD＝＝＝6．
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴，
即，
∴S△EAD＝．
∴S阴影部分＝S△EAD﹣S△ACG＝．
一十七．解直角三角形的应用（共1小题）
22．（2020•襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【解答】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，
∴∠E＝140°﹣50°＝90°，
在Rt△BDE中，
DE＝BD•cos∠D，
＝560×cos50°，
≈560×0.64，
＝358.4（米）．
答：点E与点D间的距离是358.4米．
一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
23．（2022•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

【解答】解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，
∴BD＝AD＝10m，
在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，
tan61°＝≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．
∴烈士塔的高度约为28m．
24．（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41）．

【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，
∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan45°＝20（m），
在Rt△ACD中，∵tan∠ADC＝，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan52°≈20×1.28＝25.6（m），
∴AB＝AC﹣BC＝5.6（m）．
答：旗杆AB的高度约为5.6m．

一十九．频数（率）分布直方图（共2小题）
25．（2022•襄阳）在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80．
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
组别
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
A学校
5
15
x
8
4
B学校
7
10
12
17
4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征数
平均数
众数
中位数
方差
A学校
74
75
y
127.36
B学校
74
85
73
144.12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是 　抽样　调查（选填“抽样”或“全面”）；
（2）统计表中，x＝　18　，y＝　74.5　；
（3）补全频数分布直方图；
（4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 　A　学校（选填“A”或“B”）；
（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有 　920　人．

【解答】解：（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
故答案为：抽样．
（2）x＝50﹣5﹣15﹣8﹣4＝18，
中位数为第25个和第26个平均数＝74.5，
故答案为：18，74.5．
（3）补全频数分布直方图：

（4）因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12，
127.36＜144.12，
∴课后书面作业时长波动较小的是A学校，
故答案为：A．
（5）500×+500×＝920（人）．
故答案为：920．
26．（2020•襄阳）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是　76　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　78　分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为　720　人．

【解答】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），
补全频数分布直方图如图所示：

（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，
抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为＝78（分），因此中位数是78，
故答案为：76，78；
（3）1500×＝720（人），
故答案为：720．
二十．方差（共1小题）
27．（2021•襄阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
（1）收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
（2）整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
分数x
人数
年级
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
（3）分析数据．
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
c
33.2
根据以上提供的信息，解答下列问题：
①填空：a＝　6　，b＝　91　，c＝　95　；
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，　甲　同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
③从样本数据分析来看，分数较整齐的是 　八　年级（填“七”或“八”）；
④如果七年级共有400人参赛，则该年级约有 　160　人的分数不低于95分．
【解答】解：①∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，
∴a＝20﹣3﹣4﹣7＝6，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
∴b＝＝91（分），
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
∴c＝95，
故答案为：6，91，95；
②甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：甲；
③∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴分数较整齐的是八年级，
故答案为：八；
④因为样本中七年级不低于95分的有8人，
所以400×＝160（人），
故答案为：160．