2023淮安淮海中学高二上学期第一次综合测试数学含答案

2021级淮海中学高二年级收心考试

数学试卷      2022.9

一、单选题

1.已知i为虚数单位，且复数＝1－2i，则复数z的共轭复数为(　　)

A．－1＋2i B.－1－2iC．1＋2i D.1－2i

2.从名男同学和名女同学中任选人参加服务，则选中的人都是女同学的概率为( )

A. B. C.  D.

3.若α，β∈，且sinα＝，sin(α－β)＝－，则sinβ＝(　　)

A.B.－ C． D.

4.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)

A．30°　　 B.45°C．60°　　D.90°

5. 在△ABC中，·＝9，AB＝3，点E满足＝2，则·＝(　　)

A. －6B. －3 C. 3 D. 6

6.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4，x,7,8(其中x≠7)，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差是(　　)

A.B.C．D.

7.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absinC，则△ABC的形状是(　　)

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形  D. 等边三角形

8.已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为(　　)

A. 3π B. 4π C. 6πD. 9π

二、多选题

9.已知复数z＝(a－i)(3＋2i)(a∈R)的实部为－1，则下列说法中正确的是(　　)

A．复数z的虚部为－5B．复数z的共轭复数＝1－5i

C.＝D．z在复平面内对应的点位于第三象限

10.已知分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是(    )

A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若则是等腰三角形
D. 若，则是等边三角形

11.甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以表示从罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(  )

A.
B. 事件与事件互相独立
C. 互斥
D. 的值不能确定，因为它与中究竟哪一个发生有关．

12.如图，在棱长为的正方体中(   )

A. 与的夹角为
B. 二面角的平面角的正切值为
C. 与平面所成角的正切值
D. 点到平面的距离为

三、填空题

13.设向量a＝，b＝，若a⊥，则m＝________.

14.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则的值为          ．

15.在△ABC中，B＝60°，AB＝1，M是BC的中点，AM＝，则AC＝________，

cos∠MAC＝________.

16.在三棱锥S－ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱锥S－ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为．

四、解答题

17.已知，，与夹角是．
求的值及的值；当为何值时，？

18.已知，，且、求：
Ⅰ的值； Ⅱ的值．

19. 为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛现把名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：
    （1）求的值；

（2）这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩；

（3）试估计此样本数据的第90百分位数    

20.在锐角中，角的对边分别为已知．
求角；求的取值范围．

21.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点．

(1)求证：OE∥平面PAD；

(2)若PD⊥平面ABCD，DF⊥PA，垂足为F，PD＝BD＝2，AD＝1，求三棱锥P－DEF的体积．

22.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．
 

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的二面角的正切值．

DDCABCDB     ACD   ACD  AC   BCD   

13.    14.    15.  16.

17.解：．

．
，

即，
，
解得．
当时，． 

18.解：Ⅰ解：，，
，，
，，

．
Ⅱ由Ⅰ得，

，
又，
． 

19.解：根据频率分布直方图得：
，解得 
由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，
所以众数为，
，
前三个小矩形的面积的和为，
而第四个小矩形的面积为，
所以前四个小矩形的面积为，
中位数应位于内，
设中位数为，则，
解得 ，即中位数估计值为．
平均成绩估计值为

前个小组的频率之和是
，
所以第百分位数在第六小组内，设其为，
则，解得，
即估计此样本数据的第百分位数为．

20.解：，
，
，
，
，
，
为锐角三角形，，
，

，
为锐角三角形，，，
解得，
，
，
，
的取值范围为． 

21．解析：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以O是BD的中点，又E是PB的中点，所以OE∥PD.因为OE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以OE∥平面PAD.　(2)因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB，又AB⊥AD，PD，AD⊂平面PAD，PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，所以AB⊥DF.又DF⊥PA，PA，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A，所以DF⊥平面PAB.因为EF，PB⊂平面PAB，所以DF⊥EF，DF⊥PB.因为PD＝BD，PE＝EB，所以DE⊥PB，又DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF＝D，所以PB⊥平面DEF，因此PE是三棱锥P－DEF的高．由PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得PD⊥BD.在Rt△PBD中，由PD＝BD＝2，得PB＝2，DE＝PB＝.在Rt△PAD中，DF＝＝.在Rt△DEF中，EF＝＝，于是VPDEF＝S△DEF·PE＝××DF×EF×PE＝××××＝，所以三棱锥PDEF的体积是

22.证明：底面是正方形，
．
又平面底面，平面底面，底面，
平面．
取的中点，连接，，

是正三角形，
，．
平面，平面，
，
又，，平面， 
平面 
底面，
，
就是平面与平面所成的二面角的平面角．
在中，
．
平面与平面所成的二面角的正切值为．