哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题（解析版）

哈尔滨市第三中学（南岗校区）2021级高一入学考试

数 学 学 科 参 考 答 案 及 评 分 标 准

注意事项：

1.本试卷只评分，不讲评。

2.本次试卷的成绩，不允许向学生公布。仅提交给班主任和科任老师。任课教师不允许用此次考试成绩进行排名，区别对待。

3.本次考试作为入学甄别考试，阅卷老师应严格按照参考答案进行评分。

一、填空题。（每空3分，共30分）

注意：1.取值范围的填写，无须为集合或区间的形式，正确即可给分；

      2.答案不进行约分、化简的答案按错，不得分；

3.开放条件题，只写出一个合理的条件即可，如果所给条件过于冷僻、不易证，按错，不得分；

4.多解题，漏解得1分，错解或多解不得分。

1.3.427×107                                      2.    

3.AD＝DE或∠DAE＝60°或∠BAC＝60°或AB＝BC等 

4.       5.85        6.        7.

8.            9.           10.

二、选择题。（每题3分，共30分）

注意：选择题，错选，即不得分。

三、解答题。（共60分）

注意：解答题应写明必要的验算步骤、证明过程。作图题必须是直尺作图。辅助线必须说明，在图中必须为虚线，否则扣1—2分。

21. （5分）

解：原式＝

＝......................................1分

      ＝

＝；................................................2分

当时，

ab＝，.......................3分

a﹣b＝，......................4分

∴原式＝．...............................................5分

22. （6分）

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．..............................2分

1（2）如图，△A2B2C即为所求．..............................4分

1（3）AC＝，AC扫过的面积＝...6分

23.（6分）

解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），代入y＝ax2+bx+c，

得，解得，

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3................................1分

（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，0），

∵EF＝AE，∴﹣x2+2x+3＝x+1，解得x＝2或x＝﹣1，..............2分

∵点E不与A、B重合，∴x＝2，∴yF＝﹣x2+2x+3＝﹣22+2×2+3＝3，

∴点F（2，3）；...............................................3分

（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0），

∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，

∴点C坐标为（0，﹣3a），D坐标为（1，﹣4a），.................4分

如图连接CD，AD，且AD与y轴交于点M，过点D作DN⊥x轴于N，

∴，即，解得MO＝﹣2a，

∴CM＝CO﹣OM＝﹣3a﹣（﹣2a）＝﹣a，......................5分

S1＝×CM×（AO+xD）＝×（﹣a）×（1+1）＝﹣a，

S2＝×AB×DN＝×4×（﹣4a）＝﹣8a，

∴＝．...........................................6分

24.（7分）

解：（1）90°，补全统计图如图所示：

...............................................................2分

（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝．.................................................4分

（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：

..............................................................5分

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，

.............................................................6分

∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．..................7分

25.（8分）

解：（1）小冲骑车上坡的速度为：（6.5﹣4.5）÷0.2＝10（km/h），

平路上的速度为：10+5＝15（km/h）,

下坡的速度为：15+5＝20（km/h），................................1分

平路上所用的时间为：2（4.5÷15）＝0.6h，

下坡所用的时间为：（6.5﹣4.5）÷20＝0.1h..........................2分

所以小冲在乙地休息了：1﹣0.1﹣0.6﹣0.2＝0.1（h）；...............3分

（2）由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，

所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x，

即yAB＝﹣10x+6.5（0≤x≤0.2）．...................................4分

线段EF所对应的函数关系式为yEF＝4.5+20（x﹣0.9）．

即yEF＝20x﹣13.5（0.9≤x≤1）；............................。。....5分

（3）由题意可知：小冲第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，

设小冲出发a小时第一次经过丙地，则小冲出发后（a+0.85）小时第二次经过丙地，6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，

得：a＝．..................................................7分

×10＝1（千米）．

答：丙地与甲地之间的距离为1千米．.............................8分

26.（8分）

解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：

如图1所示：

∵∠A＝∠C＝90°，

∴∠ADE与∠AED互余，

∵∠ADE与∠EBF互余，

∴∠AED＝∠EBF，

∴DE∥BF；......................................................2分

（2）令x＝0，得y＝12，∴DE＝12，

令y＝0，得x＝10，

∴MN＝10；.......................................................3分

（3）如图2中，

把y＝代入y＝﹣x+12，

解得：x＝6，即NQ＝6，

∴QM＝10﹣6＝4，................................................4分

∵Q是BF中点，

∴FQ＝QB，

∵BM＝2FN，

∴FN+6＝4+2FN，

解得：FN＝2，

∴BM＝4，......................................................5分

∵FM＝FN+MN＝12＝DE，DE∥BF，

∴四边形DFME是平行四边形，

∴DF＝EM，

∵∠AED＝30°，

∴∠FBE＝∠AED＝30°，

∵∠A＝90°，

∴∠ADE＝∠A﹣∠AED＝60°，

∵DE分别平分∠ADC，

∴∠FDE＝∠ADE＝60°，

∵四边形DFME是平行四边形，

∴∠EMF＝∠FDE＝60°，

∠EMF 是△EMB的一个外角，∠FBE＝30°，

∴∠MEB＝∠EMF﹣∠FBE＝30°，

∵BF分别平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠FBE＝60°∠HBM＝30°，

∴在△EMB中，∠EHB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，

∵BM＝4，

∴EM＝BM＝4，

∴在△EMB中，∠EHB＝90°∠HBM＝30°，

∴MH＝BM＝2，

∴EH＝EM+MH＝6，...............................................6分

由勾股定理得：，

在RT△EHB中，

∴，

当DP＝DF时，﹣x+12＝4，

解得：x＝，

∴BQ＝BN﹣NQ＝14﹣x＝14﹣＝，.............................7分

∵＞

∴BQ＞BE．......................................................8分

27.（10分）

解：（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，

根据题意，得：，解得：，

答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；........................2分

（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，

根据题意，得：，...........................4分

解得：52≤m≤53，

所以购买的方案有：

1、购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；

2、购进A种树苗53棵，B种树苗47棵；.............................7分

（3）方案一的费用为52×30+48×20＝2520元，

方案二的费用为53×30+47×20＝2530元，.............................9分

所以购进A种树苗52棵，B种树苗48棵所付工钱最少，最少工钱为2520元．

................................................................10分

28.（10分）

解：（1）设A（x1，0），x1＞0，

∵直线y＝kx﹣1交y轴负半轴于点B，∴B（0，﹣1），

∴，

∴x1＝3（另一值不符题意，舍去），∴A（3，0），

∴3k﹣1＝0，∴k＝；.............................................2分

（2）设D（x0，y0），由题意可得P（0，t），t＞0，

∵PD⊥AB，∴kPD×kAB＝﹣1，

∴×＝﹣1，∴y0＝﹣3x0+t，

∵D在AB上，

∴y0＝x0﹣1，

∴D，0＜t≤9，

∴d＝AD＝（0＜t≤9）；..5分

（3）∵d＝，∴t＝5，∴P（0，5），

∵AH＝HP，设H（0，h），0＜h＜5，∴5﹣h＝，∴h＝，∴H（0，），

∵∠AHO+2∠OHF＝180°，∠AHO＝2∠APO，∴2∠APO+2∠OHF＝180°，

∴∠APO+∠OHF＝90°，∴FH⊥AP，∵P（0，5），A（3，0），

∴直线AP的解析式为y＝﹣x+5，∴直线FH的解析式为y＝x+，

∵∠APG+∠AGF＝2∠FOH，∴2∠FOH﹣∠AGF＝30°，

∵∠AGF﹣∠FOH＝15°，∴∠FOH＝45°，

设F（x0，﹣x0），将其代入y＝x+，可得x0＝﹣1，

∴F（﹣1，1）．...................................................10分