2022成都蓉城名校联盟高二下学期期末联考试题数学（理）含答案
展开蓉城名校联盟2021～2022学年度下期高中2020级期末联考
理科数学
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 命题“，”的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
4. 在等差数列中，已知，，则数列的公差为（）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
5. 设x，y满足约束条件，则最大值为（）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】D
6. 若函数则（）
A. 3 B. C. D. 8
【答案】A
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入n＝5，则输出的S＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 在内随机取两个数，则这两个数的和小于的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
9. 如图，已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径，若平面PCA⊥平面PCB，PA＝AC，PB＝BC，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
10. 已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
12. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝1，b＝5，则c＝______．
【答案】
14. 已知，是单位向量，若，则，的夹角为______．
【答案】##
15. 记定义在R上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为______．
【答案】
16. 已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．
【答案】4
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．日前公布的《“十四五”中医药发展规划》提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力．某中药企业决定加大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入x（亿元）与产品的收益y（亿元）的数据统计如下：
投入x（亿元） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
产品收益y（亿元） | 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
（1）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明（当时，变量x，y有较强的线性相关关系）；
（2）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测当科研投入为10亿元时产品的收益．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，．
本题相关数据：，．
【答案】（1）可以（2），预计收入为亿元；
18. 已知函数在x=1处取得极值0，其中a，．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）
19. 如图，点O是正方形ABCD的中心，，，，．
（1）证明：平面ABCD；
（2）若直线OE与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；
（2）
【小问1详解】
四边形为正方形，
，又，，平面，
平面，
平面，
；
又，，平面，
平面.
【小问2详解】
以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
平面，
直线与平面所成角为，
，
解得：；
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
；
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为.
20. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对任意的，，不等式恒成立，求整数k的最大值．
【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）.
21. 已知椭圆的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：与x轴相交于点H，过点A作，垂足为点D．
（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标．
【答案】（1）；
（2）详见解析.
【小问1详解】
由题设知，设直线AB的方程为，，
由，消去x并整理，得，
∵，则，
所以，
所以四边形OAHB的面积，
令，则，
所以，
因为在上单调递增，，
所以，
故四边形OAHB的面积的取值范围为；
【小问2详解】
由可知直线BD的斜率，
所以直线BD的方程为，
令，得，
∵，
所以，
∴，
所以直线BD过定点E．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于A，B两点，且点，求的值．
【答案】（1）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；
（2）
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