初中数学2.3 确定圆的条件复习练习题

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课  时  练2.3确定圆的条件一．选择题（共12小题，满60分）1．在平面直角坐标系xOy中，若P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（　　）A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞52．已知△ABC，AC＝3，CB＝4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（　　）A．r＞3 B．r≥4 C．3＜r≤4 D．3≤r≤43．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（　　）A．d＜4 B．d＝4 C．d＞4 D．0≤d＜44．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为（1，0），点B（m，0）在⊙A内，则m的取值范围是（　　）A．m＜4 B．m＞﹣2 C．﹣2＜m＜4 D．m＜﹣2或m＞45．在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个6．如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB＝80°，则∠ACB的大小为（　　）A．20° B．40° C．80° D．90°7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是（　　）A．120° B．80° C．60° D．30°8．如图，△ABD内接于圆O，∠BAD＝60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB＝2，PD＝4，则AD的长为（　　）A．2 B．2 C．2 D．49．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（　　）A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心 B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB＝120°，则∠ACB等于（　　）A．45° B．30° C．60° D．50°11．有四个命题，其中正确的命题是（　　）①经过三点一定可以作一个圆②任意一个三角形有且只有一个外接圆③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．A．①、②、③、④ B．①、②、③ B．C．②、③、④                     D．②、③ 12．下列说法正确的是（　　）A．三点确定一个圆 B．任意的一个三角形一定有一个外接圆 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．任意一个圆有且只有一个内接三角形二．填空题（共4小题，满分20分）13．已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是　      　（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．14．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝　   　°．15．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为　            　．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是　      　，半径是　      　．三．解答题（共4小题，满分40分）17．如图，OA＝OB，点A的坐标是（﹣2，0），OB与x轴正方向夹角为60°，请画出过A，O，B三点的圆，写出圆心的坐标是　                　．18．如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．（1）求∠APB的大小；（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．19．如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；（2）求B、C两点的坐标；（3）求直线CD的函数解析式；（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标． 20．（1）如图1，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的．（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．
参考答案一．选择题（共12小题，满分60分）1．D．2．C．3．D．4．C．5．D．6．B．7．C．8．B．9．B．10．C．11．D．12．B．二．填空题（共4小题，满分20分）13．钝角三角形．14．60°．15． 4．16． （5，2），2．三．解答题（共4小题，满分40分）17．解：如图所示：E点即为圆心，∵OA＝OB，点A的坐标是（﹣2，0），OB与x轴正方向夹角为60°，∴∠EOA＝∠BOE＝60°，AF＝FO＝1，故EF＝tan60°FO＝，故圆心的坐标为：（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．18．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠APB＝120°；（2）当点P运动到的中点时，PD⊥AB，如图1，连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP＝2r，又∵⊙O为等边△ABC的外接圆，∴∠OAB＝30°，在Rt△OAD中，∵OD＝OA＝，∴CD＝+r＝，∴CD：CP＝：2r＝3：4；（3）PC＝AP+PB证明：方法一：如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ＝PB，连接BQ，∵∠APB＝120°，∴∠BPQ＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PB＝BQ，∵∠CBP＝∠CBA+∠ABP＝60°+∠ABP，∠ABQ＝∠QBP+∠ABP＝60°+∠ABP，∴∠ABQ＝∠CBP，在△ABQ和△CBP中，PB＝QB，∠CBP＝∠ABQ，CB＝AB，∴△ABQ≌△CBP，∴CP＝AQ＝AP+PQ＝AP+PB，即PC＝AP+PB；方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM，∵∠CPB＝60°，∴△PBM是等边三角形，∵∠CMB＝120°，∴∠CMB＝∠APB，∴△APB≌△CMB，∴PC＝AP+PB；方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，先证△APN是等边三角形，再证△ANC≌△APB，从而PC＝AP+PB．19．解：（1）C为弧OB的中点．理由如下：连接AC；∵OC⊥OA，∴AC为圆的直径，∴∠ABC＝90°；∵△OAB为等边三角形，∴∠ABO＝∠AOB＝∠BAO＝60°，∵∠ACB＝∠AOB＝60°，∴∠COB＝∠OBC＝30°，∴弧OC＝弧BC；（2分）即C为弧OB的中点．（2）过点B作BE⊥OA于E；∵A（2，0），∴OA＝2，∴OE＝1，BE＝，∴点B的坐标是（1，）；∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径，∴AC⊥CD，AC⊥OB，∴∠CAO＝∠OCD＝30°，∴，∴C（0，）；（3）在△COD中，∠COD＝90°，，∵∠OCD＝∠CAO＝∠COD＝30°，∴DC＝2DO，∵CD2＝DO2+CO2，∴（2OD）2＝DO2+CO2，∴OD＝，则有D（﹣，0）；∴直线CD的解析式为：（4）∵四边形OPCD是等腰梯形，∴∠CDO＝∠DCP＝60°，∴∠OCP＝∠COB＝30°，∴PC＝PO（8分）；过点P作PF⊥OC于F，则OF＝OC＝，∴PF＝，∴点P的坐标为：（，）．20．证明：（1）如图1，连接OA，OC；∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∵点O是等边三角形ABC的外心，∴CF＝CG＝AC，∠OFC＝∠OGC＝90°，∴在Rt△OFC和Rt△OGC中，，∴Rt△OFC≌Rt△OGC．同理：Rt△OGC≌Rt△OGA．∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S四边形OFCG＝2S△OFC＝S△OAC，∴S△OAC＝S△ABC，∴S四边形OFCG＝S△ABC．（2）证法一：连接OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2；设OD交BC于点F，OE交AC于点G，∠AOC＝∠3+∠4＝120°，∠DOE＝∠5+∠4＝120°，∴∠3＝∠5；在△OAG和△OCF中，∴△OAG≌△OCF，∴S△OAG＝S△OCF，∴S△OAG+S△OGC＝S△OCF+S△OGC，即S四边形OFCG＝S△OAC＝S△ABC；证法二：设OD交BC于点F，OE交AC于点G；作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、K；在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，∴∠HOK＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，即∠1+∠2＝120度；又∵∠GOF＝∠2+∠3＝120°，∴∠1＝∠3，∵AC＝BC，∴OH＝OK，∴△OGK≌△OFH，∴S四边形OFCG＝S四边形OHCK＝S△ABC．