2021-2022学年福建省福州市立志中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份2021-2022学年福建省福州市立志中学九年级（上）月考数学试卷（12月份），共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州市鼓楼区立志中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（附答案详细解析）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）以下事件中，必然发生的是（　　）
A．打开电视机，正在播放体育节目
B．正五边形的外角和为180°
C．通常情况下，水加热到100℃沸腾
D．掷一次骰子，向上一面是5点
2．（4分）如图，反比例函数y＝图象过点A，则k的值为（　　）

A．k＝1 B．k＝2 C．k＝﹣1 D．k＝﹣2
3．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（　　）

A．DE＝BC B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC＝1：2
4．（4分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）

A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
5．（4分）将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+3
6．（4分）五张卡片分别写着﹣3，﹣2，0，1，2数字，任意抽取一张是非负数的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（　　）

A．52° B．76° C．26° D．128°
8．（4分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　）
A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720 D．720（1+2x）2＝500
9．（4分）已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y＝﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．无法确定
10．（4分）已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y＝ax2+4ax+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣9
二、选择题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是：　 　．
12．（4分）已知x＝1是一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的一个根，则a＝　 　．
13．（4分）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 　 　．
14．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为 　 　．

15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，连接CD，将△ACD绕点C按逆时针方向旋转90°得到△BCE，若AB＝3，AD＝1，则DE的长是　 　．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为 　 　．

三、解答题（共86分）
17．（6分）解方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）．
18．（8分）一个不透明的盒子中有2枚黑棋，x枚白棋，这些棋子除颜色外无其他差别，现从盒中随机摸出一枚棋子（不放回），再随机摸出一枚棋子．
（1）若“摸出两枚棋子的颜色都是白色”是不可能事件，请写出符合条件的一个x值 　 　．
（2）当x＝2时，求“摸出两枚棋子的颜色相同”的概率．
19．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
21．（8分）如图，已知矩形ABCD．
（1）在线段AD上作点E，使得∠BEC＝90°（要求：只需作出满足条件的一个点即可，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：△ABE∽△DEC．

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD，BD是弦，点P在BA的延长线上，且∠PDA＝∠PBD，延长PD交圆的切线BE于点E．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠BED＝60°，PD＝，求PA的长．

23．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）设BC长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，求y与x的函数关系式；
（2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．

24．（14分）已知两条线段AC和BC，连接AB，分别以AB，BC为底边向上画等腰△ABD和等腰△BCE，∠ADB＝∠BEC＝α．

（1）如图1，当α＝60°时，求证：△DBE≌△ABC；
（2）如图2，当α＝90°时，且BC＝6，AC＝2．
①求DE的长；
②如图3，将线段CA绕点C旋转，点D也随之运动，请直接写出C，D两点之间距离的取值范围．
25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区立志中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）以下事件中，必然发生的是（　　）
A．打开电视机，正在播放体育节目
B．正五边形的外角和为180°
C．通常情况下，水加热到100℃沸腾
D．掷一次骰子，向上一面是5点
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、打开电视机，可能播放体育节目、也可能播放戏曲等其它节目，为随机事件，故A选项错误；
B、任何正多边形的外角和是360°，故B选项错误；
C、通常情况下，水加热到100℃沸腾，符合物理学原理，故C选项正确；
D、掷一次骰子，向上一面可能是1，2，3，4，5，6，中的任何一个，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（4分）如图，反比例函数y＝图象过点A，则k的值为（　　）

A．k＝1 B．k＝2 C．k＝﹣1 D．k＝﹣2
【分析】把点A（﹣2，1）代入反比例函数y＝，即可求出k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝图象过点A（﹣2，1），
∴1＝，即k＝﹣2，
故选：D．
【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，比较简单．
3．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（　　）

A．DE＝BC B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC＝1：2
【分析】根据中位线的性质定理得到DE∥BC，DE＝BC，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴＝，△ADE∽△ABC，
∴，
∴A，B，C正确，D错误；
故选：D．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明．
4．（4分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）

A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则＝，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴＝，
解得：CD＝0.4m，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
5．（4分）将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+3
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x﹣2）2+3．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．（4分）五张卡片分别写着﹣3，﹣2，0，1，2数字，任意抽取一张是非负数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：任意抽取一张有5种等可能结果，其中是非负数的有2种结果，
所以任意抽取一张是非负数的概率为，
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
7．（4分）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（　　）

A．52° B．76° C．26° D．128°
【分析】连接OD、OF；由圆周角定理可求得∠DOF的度数；在四边形ADOF中，∠ODA＝∠OFA＝90°，因此∠A和∠DOF互补，由此可求出∠A的度数．
【解答】解：连接OD，OF，则∠ADO＝∠AFO＝90°；
由圆周角定理知，∠DOF＝2∠E＝104°；
∴∠A＝180°﹣∠DOF＝76°．故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和等知识．
8．（4分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　）
A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720 D．720（1+2x）2＝500
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．
【解答】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2＝720；
故选：B．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
9．（4分）已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y＝﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．无法确定
【分析】对y＝﹣，由x1＜0＜x2＜x3知，A点位于第二象限，y1最大，第四象限，y随x增大而增大，y2＜y3，故y2＜y3＜y1．
【解答】解：∵y＝﹣中k＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y＝﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，
∴A点位于第二象限，y1＞0，B、C两点位于第四象限，
∵0＜x2＜x3，
∴y2＜y3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标．
10．（4分）已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y＝ax2+4ax+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣9
【分析】求得抛物线的对称轴，开口向下，在对称轴左边函数y随x的增大而减小，在对称轴的右边函数y随x的增大而增大，即可判断．
【解答】解：∵y＝ax2+4ax+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣＝﹣2，开口向下，
∴在对称轴的右边函数y随x的增大而减小，
∵3＞﹣2，
∴﹣2＜m＜3，
∵A（3，n）关于对称轴的对称点为（﹣7，n），
在对称轴的左边函数y随x的增大而增大，
∴﹣7＜m＜﹣2，
故m不可能为﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断函数的增减性；利用抛物线上点的横坐标大小比较纵坐标的大小．
二、选择题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是：　（﹣3，2）　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（4分）已知x＝1是一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的一个根，则a＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的一个根，
∴1﹣2﹣a＝0，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（4分）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 　15π　．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π．
【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法．
14．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为 　72°　．

【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质求出∠BCA和∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查的是正多边形的内角，熟练掌握正多边形的内角的计算公式和等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，连接CD，将△ACD绕点C按逆时针方向旋转90°得到△BCE，若AB＝3，AD＝1，则DE的长是　　．

【分析】根据旋转前后的图形全等得出BE的长度，再由题意得出DB的长度，然后证明∠DBE＝90°，用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵AB＝3，AD＝1，
∴BD＝2，
∵△ACD绕点C按逆时针方向旋转90°得到△BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE＝1，∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴DE＝．
【点评】本题主要考查旋转的性质和勾股定理，关键是要知道旋转前后的图形全等，然后根据对应边相等得出BE的长度和∠DBE＝90°，接着使用勾股定理求出DE．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为 　　．

【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE＝4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE＝＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴B（4，），
∴k＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17．（6分）解方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）．
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解可以求出方程的根．
【解答】解：（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣1﹣2）＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x+2＝0，x﹣3＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据方程的结构特点，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根．
18．（8分）一个不透明的盒子中有2枚黑棋，x枚白棋，这些棋子除颜色外无其他差别，现从盒中随机摸出一枚棋子（不放回），再随机摸出一枚棋子．
（1）若“摸出两枚棋子的颜色都是白色”是不可能事件，请写出符合条件的一个x值 　1或0　．
（2）当x＝2时，求“摸出两枚棋子的颜色相同”的概率．
【分析】（1）“摸出两枚棋子的颜色都是白色”是不可能事件知白球的数量不足2个，据此可得答案；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若“摸出两枚棋子的颜色都是白色”是不可能事件，请写出符合条件的一个x值为1或0，
故答案为：1或0；
（2）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中“摸出两枚棋子的颜色相同”的有4种结果，
所以“摸出两枚棋子的颜色相同”的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标．

【分析】（1）把A的坐标代入y2＝，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y＝x+b求出一次函数的解析式；
（2）由S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝（m≠0）的图象过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为：y2＝．
∵一次函数y1＝x+b（k≠0）的图象过点A（1，2），
∴2＝1+b，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为：y1＝x+1；
（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），
∵S△AMN＝•MN•|xA|＝3且xA＝1，
∴MN＝6，
∴N（0，7）或（0，﹣5）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题．考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据因式分解法求出方程的两根，然后列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意，得Δ＝（2k+1）2﹣8k
＝（2k﹣1）2
∵（2k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由求根公式，得，x2＝﹣k．
∵方程有一个根是正数，
∴﹣k＞0．
∴k＜0
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
21．（8分）如图，已知矩形ABCD．
（1）在线段AD上作点E，使得∠BEC＝90°（要求：只需作出满足条件的一个点即可，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：△ABE∽△DEC．

【分析】（1）以BC为直径作圆，交AD于点E，即可求解；
（2）由余角的性质可证∠ABE＝∠DEC，可得结论．
【解答】（1）解：以BC为直径作圆，交AD于点E，则点E为所求点．

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠AEB+∠ABE＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠ABE＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD，BD是弦，点P在BA的延长线上，且∠PDA＝∠PBD，延长PD交圆的切线BE于点E．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠BED＝60°，PD＝，求PA的长．

【分析】（1）连接OD，根据直径所对圆周角是直角推得∠PDO＝90°，根据切线的判定定理即可证明；
（2）易证∠P＝30°，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，再根据勾股定理即可求得半径的长，进而利用线段的和差即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠ADO+∠BDO＝90°
∵DO＝BO
∴∠BDO＝∠PBD
∵∠PDA＝∠PBD
∴∠BDO＝∠PDA
∴∠ADO+∠PDA＝90°
即PD⊥OD
∴直线PD为⊙O的切线；
（2）解：∵BE是⊙O的切线
∴∠EBA＝90°
∵∠BED＝60°
∴∠P＝30°
∵PD为⊙O的切线
∴∠PDO＝90°
设⊙O的半径为R
在Rt△PDO中，∠P＝30°，则PO＝2OD＝2R
∵PO2﹣OD2＝PD2
∴
解得R＝1
∴PO＝2，AO＝1
∴PA＝PO﹣AO＝2﹣1＝1．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线，
常见的辅助线：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
23．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）设BC长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，求y与x的函数关系式；
（2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【分析】（1）由矩形的面积公式写出函数解析式即可；
（2）利用第（1）问的函数解析式，由二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）由矩形的面积公式得：y＝AB•BC＝（100﹣x）x＝﹣x2+50x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+50x；
（2）由（1）得；y＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣50）2+1250，
∵﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝50，
∴当x＜50时，y随x的增大而增大，
∵AD≤MN，
∴x≤a＝40，
∴当x＝40时，y有最大值，最大值为1200，
∴若a＝40矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据数量关系写出函数解析式．
24．（14分）已知两条线段AC和BC，连接AB，分别以AB，BC为底边向上画等腰△ABD和等腰△BCE，∠ADB＝∠BEC＝α．

（1）如图1，当α＝60°时，求证：△DBE≌△ABC；
（2）如图2，当α＝90°时，且BC＝6，AC＝2．
①求DE的长；
②如图3，将线段CA绕点C旋转，点D也随之运动，请直接写出C，D两点之间距离的取值范围．
【分析】（1）只要证明△DBA，△EBC都是等边三角形即可解决问题；
（2）①只要证明△DBE∽△ABC，推出＝，即可解决问题；
②在△DEC中，根据三边关系即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1，

∵DB＝DA，EB＝EC，∠BDA＝∠BEC＝60°，
∴△ABD，△EBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE≌△ABC（SAS）；
（2）解：①如图，

∵△ABD，△BEC都是等腰直角三角形，
∴＝，∠DBA＝∠EBC＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝2，
∴DE＝．
②如图3中，连接CD．

由①可知DE＝，
在Rt△BCE中，EC＝BC＝3，
∵EC﹣DE≤DC≤EC+DE，
∴2≤DC≤4．
【点评】本题是几何变换综合题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，因此抛物线的解析式y＝；
（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小；
（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（1，4），A（3，2），可得AH＝MH＝2，H（1，2）因为∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，所以∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，于是QH＝HA＝HM＝2设Q（0，t），则＝2，t＝2+或2﹣，求得符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，
m＝﹣4+＝﹣，
∴B的坐标为（4，﹣），
将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，

解得b＝1，c＝，
∴抛物线的解析式y＝；
（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），
DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，
此时D（2，），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．

PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），
A'D＝＝，
即PD+PA的最小值为；
（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，

∵抛物线的解析式y＝，
∴M（1，4），
∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，
∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝∠AHM，
可知△AQM外接圆的圆心为H，

∴QH＝HA＝HM＝2
设Q（0，t），
则＝2，
t＝2+或2﹣
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）或Q2（0，2）．
【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．