福建省福州市福清市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（含解析）

福建省福州市福清市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列图形不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 成语“水中捞月”所描述的事件是

A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定

3. 将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线的表达式是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，若，则下列线段的比中，与相等的是

A.
B.
C.
D.

5. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 正方形的边长为，则其外接圆半径的长是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是边上一点，过点作交于点已知：：，则：的值为

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8. 冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有只动物被感染，后来经过两轮感染后共有只动物被感染，若每轮感染中平均一只动物会感染只动物，则下列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，四边形内接于，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则的值不可能是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 方程的解为______．
12. 一个扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长为______．
13. 从某玉米种子中抽取批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：

根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为______精确到．

14. 二次函数的最小值为，则的值为______ ．
15. 如图，直线与双曲线交于，两点，过点作轴的平行线，交双曲线于点，连接，则的面积为______．

16. 如图，中，，，是边上一点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，，与相交于点现给出以下结论：
    ；；当时，；连接，则的最小值为．
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知抛物线与轴有交点，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，已知，是以为直径的上的两点，连接，，，若，求证：为的中点．
    
     

20. 一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度单位：吨天随卸货天数的变化而变化．已知与是反比例函数关系，它的图象如图所示．
    求与之间的函数解析式；
    由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
     

21. 中国古代有着辉煌的数学成就，周髀算经，九章算术，海岛算经，孙子算经等是了解我国古代数学的重要文献．
    小华想从这部数学名著中随机选择部阅读，求他选中孙子算经的概率；
    某中学拟从这部数学名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，用列表法或树状图法求出选中的部名著中，其中部是周髀算经的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，中，，，把绕着点顺时针旋转，使点的对应点落在边上，得到．
    作出要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    连接，求的度数．
    
     

23. 如图，已知矩形中，于点，．
    若，求的长；
    设点关于的对称点为，求证：，，三点共线．

24. 如图，四边形内接于，是的直径，平分交于点，点在延长线上，．
    求证：是的切线；
    求证：；
    若，的面积为，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知抛物线经过，且顶点在轴上．
    求抛物线解析式；
    直线与抛物线交于，两点．
    点在抛物线上，当，且为等腰直角三角形时，求的值；
    设直线交轴于点，线段的垂直平分线交轴于点，当，时，求点纵坐标的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B、、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：水中捞月是不可能事件，
故选：．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点右平移个单位长度得到对应点的坐标为，所以平移后所得抛物线的表达式是．
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点的平移规律得到顶点平移后对应点的坐标，然后利用顶点式写出平移后抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：反比例函数中，
在同一个象限内，随的增大而增大，
点与点都在反比例函数的图象上，且，
，
故选：．
由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，随的增大而增大，即可得答案．
本题考查反比例函数的增减性，掌握时，在同一个象限内，随的增大而增大是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：作于，连接，则，．
在中，．
故选B．
作于，连接，在中，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
本题考查了正多边形和圆，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的边长与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
∽，
，
：：，
，
，
，
，
故选：．
由得∽，则，而：：，可得，可得，得到问题的答案．
此题考查相似三角形的判定与性质，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”列出等式并进行适当变形是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：每轮感染中平均一只动物会感染只动物，列方程得：，
故选：．
设每轮感染中平均一只动物会感染只动物．则经过一轮感染，一只动物感染给了只动物，这只动物又感染给了只动物．等量关系：经过两轮感染后就会有只动物被感染．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少只动物被感染是解决此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
 

10.【答案】
 

【解析】解：时，的取值范围是，
函数的对称轴为直线，开口向下，
，，
，
，
点在函数图象上，
，
解得：或，
，
，
，
，，
或，
故选：．
由题意可知，函数的对称轴为直线，且开口向下，从而得到与的关系，且，然后代入函数解析式，再令，求得的取值，最后由的取值范围得到的取值范围，即可得到结果．
本题考查了二次函数的对称性、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会用函数的观点看不等式．
 

11.【答案】，
 

【解析】解：，
，
或，
或．
故答案为：，．
把方程的左边分解因式得，得到或，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：扇形弧长为：，
故答案为：．
根据弧长的计算公式直接解答即可．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长的计算公式即可．
 

13.【答案】
 

【解析】解：观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在附近，
，
则这种玉米种子发芽的概率是，
故答案为：．
观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率．
此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种玉米种子发芽的频率是解本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
，
当时，有最小值为，
，
．
故答案为：．
先把配成顶点式得到，根据二次函数的性质得到当时，有最小值为，根据题意得，然后解方程即可．
本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设点的横坐标为，
点在双曲线上，
，
轴，
点的横坐标为，
点在双曲线上，
，
，
直线与双曲线交于，两点，
点和点关于原点对称，
，
过点作的垂线，垂足为，

，
．
故答案为：．
设点的横坐标为，由点在双曲线上可得，根据轴，表达点的坐标，又点和点关于原点对称，则可表达点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解函数的图象的交点与两函数解析式之间的关系．
 

16.【答案】
 

【解析】解：线段绕点顺时针旋转至，
，
，故正确；
当时，根据等腰直角三角形的性质得，
，，
此时，故错误；
，
，
当时，，，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，故正确；

，
点在射线上运动，
作关于的对称点，连接，此时的最小值为的长，连接，
作，交的延长线于，
，，，
由勾股定理得，，
的最小值为，则正确，
故答案为：．
由，得，故正确；当时，根据等腰直角三角形的性质得，，故错误；利用证明≌，得，，则，利用勾股定理求得的长，由∽，得，故正确；由，知点在射线上运动，作关于的对称点，连接，此时的最小值为的长，连接，作，交的延长线于，利用勾股定理求的长即可判断．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题等知识，判定点的运动路径是解题的关键．
 

17.【答案】解：移项得，
配方得，
即，
开方得，
，．
 

【解析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．
 

18.【答案】解：抛物线与轴有交点，
方程有两个实数根．
，
．
解得．
即的取值范围为．
 

【解析】由于决定抛物线与轴的交点个数，则，然后解不等式即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与轴的交点个数．解决此类问题的关键是把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为求方程的解的问题．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，，
，
，
即为的中点．
 

【解析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出是解此题的关键．
 

20.【答案】解：与是反比例函数关系，
设，
图象过点，
，
与之间的函数解析式为：；

当时，，
当时，随的增大而减小，
当时，，
答：平均每天至少要卸载吨．
 

【解析】直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案；
直接利用中函数解析式，将代入，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．
 

21.【答案】解：小聪想从这部数学名著中随机选择部阅读，则他选中孙子算经的概率为．

将四部名著周髀算经，九章算术，海岛算经，孙子算经分别记为，，，，记恰好其中部是周髀算经为事件．
用列表法列举出从部名著中选择部所能产生的全部结果：

由表中可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件的结果有种，
．
 

【解析】根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中孙子算经只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；

绕着点顺时针旋转得到．
≌，
，，
，
，，
，
，
．

答：的度数为．
 

【解析】根据旋转的性质即可作出；
根据等腰三角形的性质和旋转的性质即可求的度数．
本题考查了作图旋转变换，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
；

证明：连接．

由可知，，
，
，
，
，，关于对称，
，，
，
，，共线，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
∽，
，
，
，
，，共线．
 

【解析】证明∽，利用相似三角形的性质求解即可；
连接，证明∽，推出，可得结论．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：连接，

是直径，
，
，
，
，
，，
，
，
是半径，
是的切线；
证明：，，
∽，
，
平分，
，
，，
，
，
；
解：作于，于，

是直径，
，
，，
，
平分，
，
，
又，
≌，
，，
，，
，
，，
的面积为，
，
，
解得负值舍去，
，
，
由勾股定理得，
∽，
，
，
由知，，
，
解得．
 

【解析】连接，根据，可证，则，且是半径，即可证明；
首先证明∽，得，再由，，得，则有，从而证明结论；
作于，于，利用证明≌，得，，根据的面积为，得，从而求出的长，再利用∽，得，则，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形求出的长是解题的关键．
 

25.【答案】解：顶点在轴上，
，
抛物线经过，
，
，
；
当时，，
联立，
，，
为等腰直角三角形，
，
或舍；
，
，
，
由题意可知，，
，
，
联立，
，
，
的中点为，
设的线段垂直平分线所在直线解析式为，
与轴的交点，与轴的交点为，
，
，
，
，
，
线段的垂直平分线为，
点纵坐标为，
．
 

【解析】由题意可知，再将代入即可求解析式；
求出，，再由，即可求；
由题意可得，，再由，可得，联立，得到的中点为，设的线段垂直平分线所在直线解析式为，与轴的交点，与轴的交点为，由，可得，则有线段的垂直平分线为，所以点纵坐标为，即可求．
本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，求出线段垂直平分线的解析式是解题的关键．