高二数学下学期期末考试分类汇编计数原理苏教版选择性必修2

这是一份高二数学下学期期末考试分类汇编计数原理苏教版选择性必修2，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题02  计数原理一、单选题1．（2021·北京市十一学校高二期末）若，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将展开得，化简计算即可.【详解】∵，∴，化简可得，则.故选：B2．（2021·广东中山·高二期末）对任意实数，有，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由，根据二项式定理可得特定项系数.【详解】因为，所以，故选：A.3．（2021·重庆南开中学高二期末）若，则n=（       ）A．l B．3 C．5 D．7【答案】D【解析】根据组合数的性质，将方程化简整理，即可求解.【详解】由，根据组合数的性质可得：，则，解得.故选：D.4．（2021·湖南师大附中高二期末）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（       ）A．－34 B．－672 C．84 D．672【答案】B【解析】由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.【详解】由已知，，则，所以.令，得，所以常数项为，故选：B．【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.5．（2021·辽宁葫芦岛·高二期末）设集合，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】化简集合，再求集合交集．【详解】由，则故选：C6．（2021·湖南·衡阳市八中高二期末）用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有（       ）A．48个 B．64个C．72个 D．90个【答案】C【解析】根据排列的定义，结合分步计算原理进行求解即可【详解】满足条件的五位偶数有：.故选：C.二、多选题7．（2021·重庆南开中学高二期末）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（       ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】先选出一个人分得两本书，剩余四人各分得一本书，再利用分步乘法计数原理相乘即得结果.【详解】依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，方法一：分三步完成，第一步：选择一个人，有种选法；第二步：为这个人选两本书，有种选法；第三步: 剩余四人各分得一本书，有种选法.故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为，故A正确；方法二：分两步完成，第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2+1+1+1+1”的五组，有种选法；第二步：将五组分配给五个人，有种选法.故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为，故D正确.故选：AD.8．（2021·辽宁辽阳·高二期末）现有个男生个女生，若从中选取个学生，则（       ）A．选取的个学生都是女生的不同选法共有种B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有种C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有种D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种【答案】AC【解析】【分析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出．【详解】解：选取的个学生都是女生的不同选法共有种，恰有个女生的不同选法共有种，至少有个女生的不同选法共有种，选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种.故选：AC三、填空题9．（2021·陕西·榆林市第十中学高二期末（理））风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.时值建党100周年，为深入开展党史学习教育，某街道党支部决定将4名党员安排到3个社区进行专题宣讲，且每名党员只去1个社区，每个社区至少安排1名党员，则不同的安排方法种数为__________.【答案】36【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：先将党员分成3组，再将三组党员安排到三个社区，由分步计数原理可以计算答案.【详解】解：根据题意得：第一步：先将4名党员分成三组，一共有种分法；第二步：然后将分好的3组安排到3个社区，有种分法，根据分步计数法可知不同的安排方法数共有种.故答案为：10．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知，则_____．【答案】【解析】【分析】令分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.【详解】令得：，令得：，.【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.11．（2021·河北·石家庄市第一中学东校区高二期末）的展开式的中间一项为______.【答案】924【解析】【分析】根据二项式的展开式通项公式，以及展开式的项数，即可求出展开式的中间一项．【详解】解：的展开式通项公式为：，令，得，即展开式的中间一项为．故答案为：924四、解答题12．（2021·江苏省镇江第一中学高二期末）（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？【答案】（1）328个；（2）216种.【解析】（1）分类讨论是否在末位，结合分类加法计数原理以及分步乘法计数原理求解即可；（2）当最左端排甲时，剩下5人全排列，当最左端只排乙时，先安排甲的位置，再安排剩下3人的位置.【详解】解：（1）首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个）当0不排在末位时，有（个）于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）（2）最左端排甲，共有种最左端只排乙，最右端不能排甲，有种根据加法原理可得，共有种.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是优先安排特殊元素，再分类讨论得出所有的排法. 一、单选题1．（2021·江苏南通·高二期末）琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出全部的结果总数为，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本事件总数为，再利用古典概型的概率求解.【详解】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为.从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为.所以所求的概率，故选：B.【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.2．（2021·云南玉溪·高二期末（理））把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（       ）种．A．60 B．72 C．96 D．150【答案】D【解析】先把5名同学分成组，有两种情况，再将他们分配下去即可求出．【详解】5名同学分成组，有两种情况，故共有种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种．故选：D．【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．3．（2021··高二期末）在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（       ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得，得出n的值.【详解】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大， 即，解得：故选：C．【点睛】结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在的展开式中，若n是偶数时，中间项项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项与项的二项式系数相等且最大．4．（2021·北京市十一学校高二期末）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组合及简单计数问题．二、多选题5．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高二期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（       ）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ABCD【解析】【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确，对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故正确，对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有种，故正确，对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确．故选：ABCD．6．（2021·辽宁丹东·高二期末）对于二项式，以下判断正确的有（       ）A．存在，展开式中有常数项B．对任意，展开式中没有常数项C．对任意，展开式中没有x的一次项D．存在，展开式中有x的一次项【答案】AD【解析】【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．【详解】设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．故选：AD7．（2021·湖南·衡阳市八中高二期末）关于及其展开式，下列说法正确的是（       ）A．该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以100的余数是1【答案】BD【解析】求出二项式系数和判断A；求出二项展开式中第七项判断B；根据最后一项是有理项判断C；利用二项展开式的应用和整除问题的应用判断D．【详解】对于A，该二项展开式中二项式系数和是，故错误；对于B，由于，即该二项展开式中第七项为，故正确．对于C，该二项展开式中，最后一项为，是有理项，故错误．对于D，当时，，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当时，除以100的余数是1，故正确．故选：BD.【点睛】方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8．（2021·江苏常州·高二期末）若，且，则下列结论正确的是（       ）A．B．展开式中二项式系数和为C．展开式中所有项系数和为D．【答案】ACD【解析】对于A，利用赋值法令，并结合题目条件，即可求出，从而可求出；对于B，根据二项展开式中二项式系数和为，即可判断B选项；对于C，由于已求出，利用赋值法，即可求出展开式中所有项系数和；对于D，对原式进行求导，再令，即可得出的结果.【详解】解：对于A，令，可得，即，即，①令，得，即，②由于的展开式中，所以，③所以①-②-③得：，而，所以，解得：，故A正确；对于B，由于，则，所以展开式中二项式系数和为，故B错误；对于C，由于，则的所有项系数为，故C正确；对于D，由于，则，等式两边求导得：，令，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查根据二项式的系数和求参数，以及所有项的二项式系数和的求法，利用赋值法求各项系数和是解题的关键，考查学生运用和计算能力.9．（2021·江苏·南京师大附中高二期末）(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为A．a=2，n=5 B．a=1，n=6 C．a=－1，n=5 D．a=1，n=5【答案】CD【解析】【分析】每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成(1＋ax＋by)n的展开式中的每一项，利用组合知识得出所有系数的绝对值，结合二项式定理即可得解.【详解】(1＋ax＋by)n的展开式可以看成n个(1＋ax＋by)，每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成的每一项， (1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，即，即，结合四个选项则a，n的值可能为：a=－1，n=5，或a=1，n=5故选：CD【点睛】此题考查二项式定理的应用，关键在于弄清多项式展开式的求法，结合组合知识和二项式定理求解.三、填空题10．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种.【答案】【解析】【分析】首先将C、D、E排序，再将作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空，即可得不同的排法数.【详解】1、将C、D、E排成一列，有种，2、把作为整体插入4个空中，有种，或分别插入4个空中的2个空中，有种，所以共有种.故答案为：60.11．（2021·湖北黄冈·高二期末）若，则被12整除的余数为______．【答案】0【解析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取得，取得，两式相减得，即，因为能被12整除，所以则被12整除，余数是0.故答案为：0.【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．12．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）在的展开式中，的系数为_____．【答案】120【解析】【分析】先把变形为，再利用二项式定理中的通项公式求出结果．【详解】，的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用 四、解答题13．（2021·江苏省镇江第一中学高二期末）（1）已知.求：①；②；（2）在的展开式中，求：①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）①；②；（2）①；②或.【解析】（1）①运用赋值法，令，求得，令，求得，由此可求得答案.②由二项式的展开式判断、、、都大于零，而、、、都小于零，令，可求得答案；（2）先求出展开式的通项公式，①令时，求展示式中的第3项； ②令或3时，求得二项式系数最大项．【详解】解：（1）令，则，令，则.①∴. ②∵展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，∴，令，则.所以. （2）的展开式中第项为，①当时，所以展示式中的第3项为. ②或3时，二项式系数最大，时，由（1）知，时，．【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个；求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得.14．（2021·全国·高二期末）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知（），若的展开式中，______.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）10；（2）【解析】【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出；（2）令和可求出.【详解】（1）选择条件①，若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，；选择条件②，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，；选择条件②，若的展开式中所有二项式系数的和为，则，；（2）由（1）知，则，令，得，令，则，.【点睛】本题考查二项展开式系数关系