高二数学下学期期末考试分类汇编双曲线方程新人教A版

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专题06  双曲线方程类型一  双曲线方程1．（2022·河南·高二期中）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由方程表示双曲线可得，解得，显然能推出，反之不能推出，故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A. 2．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（       ）A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线【答案】B【解析】点的坐标满足,即动点,到定点距离减去到的距离，差等于4，即 ,且 ，故动点P的轨迹是双曲线的一支，故选：B 3．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（       ）A． B． C．7 D．8【答案】A【解析】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知，∴∴.故选：A 4．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】记，，，∵，∴，在中，由余弦定理得，配方得，即，∴，由任意三角形的面积公式得，∴，而，，，故选：A. 类型二  双曲线简单几何性质5．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中）已知是双曲线的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法不正确的是（       ）A．双曲线C的渐近线方程为 B．点M的横坐标为C．的面积为 D．以为直径的圆的方程为【答案】D【解析】由双曲线方程知，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；，以为直径的圆的方程是，D错；由得或，由对称性知点横坐标是，B正确；，C正确．故选：D． 6．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的右顶点为A，虚轴的上端点为B，左焦点为F，则（       ）．A． B．0 C． D．【答案】B【解析】因为，，，所以．因为，所以．因为，所以．故选：B 7．（2022·福建·厦门一中高二期中）记双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于两点，且，以线段为直径的圆过点，则的渐近线方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，由得：；；由双曲线定义可知：，，，；线段为直径的圆过点，；在中，，即，解得：；在中，，即，即，，，则的渐近线方程为.故选：C. 8．（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（       ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，故选：D  类型三：双曲线离心率9．（2022·河南·高二阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点，若C的右支上的任意一点M满足，则C的离心率的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知可得，若，即，右支上的点均满足，只需的最小值满足即可，当点在上时，最小，此时，故，即,,或，即或，可得或，解得或双曲线的离心率的取值范围为 .故选：D 10．（2022·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（理））设，分别为双曲线C：的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M是的中点，且，，则双曲线的离心率为（       ）A．5 B． C． D．4【答案】A【解析】点分别是线段和的中点，所以，因为，所以，因为，，解得：，，，即，解得：.故选：A 11．（2022·江西·高二阶段练习（理））已知点F为双曲线(，)的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A、B两点(点B在双曲线左支上)，连接BF并延长交双曲线于点C，且，AF⊥BC，则该双曲线的离心率为(       )A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，为双曲线右焦点，则根据对称性知为矩形﹒设，则，，，，在△中，由余弦定理得，，即，即①，在Rt△中，，即②，联立①②解得，，代入②，，解得.故选：B. 12．（2022·四川省通江中学高二阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】如图所示：由题意得：，所以，即，即，所以，故选：A 13．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知，是双曲线的左､右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为（       ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】由可得，，即，则 为 的中点，由于O为 的中点，故 ，故 轴，将代入中得： ，故 ，因为直线的斜率为 ，故 ,所以 ，即 ，故 （负值舍去），故，故选：D 类型四：双曲线方程的综合应用1．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.(1)若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；(2)当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)，，，解得(2)由（1）可知，，双曲线E的方程为设，过点A的直线方程为由可得，由，解得故 2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.(1)求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵虚轴长为4，∴，即，∵直线为双曲线C的一条渐近线，∴，∴，故双曲线C的标准方程为.(2)由题意知，，，由题可知，直线斜率不能为零，故可设直线的方程为，设，，联立，得，，，，直线的斜率，直线的斜率，． 3．（2022·广东·茂名市电白区水东中学高二阶段练习）已知双曲线的离心率是，实轴长是8.(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为.【解析】(1)依题意得，解得所以双曲线C的方程是.(2)证明：设，，，直线l的方程为.将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，则，.要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足即解得.由，得，故，所以.又，所以点D的纵坐标为定值.     一、单选题1．（2022·安徽·高二阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】曲线由三段曲线组成，分别是：双曲线､圆､双曲线，其中是那两段双曲线的渐近线，曲线如下图所示，，其中代表曲线C上任一点到直线的距离，距离的最大值即为圆的半径，双曲线无限趋近于渐近线，由此可知距离，故的取值范围为，故选：.2．（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知F1、F2是双曲线E ：( a >0， b >0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为M为PQ的中点，且，所以△为等腰三角形，即，因为，设，则，由双曲线定义可知：，所以，则，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故选：D 3．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，，则，应满足的关系是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设知：且，则，所以.故选：D 4．（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【解析】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，根据题意，作图如下：则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则，故可得，故的最大值为：.故选：B. 二、多选题5．（2022·江苏江苏·高二期中）已知双曲线：，则（       ）A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的两条渐近线方程为：C．双曲线的离心率为 D．双曲线有且仅有两条过点的切线【答案】ABD【解析】由双曲线标准方程得，，所以，焦距为4，A正确；，渐近线方程为，B正确；离心率为，C错误；设过的直线的方程为，代入双曲线方程得：（*），，即时，方程（*）只有一解，此时直线与渐近线平行，与双曲线相交，又由得，此时方程（*）有两个相等的实数解，此时直线与双曲线相切，即相切的直线有两条，D正确．故选：ABD． 6．（2022·全国·高二期中）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】：椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标，正六边形的一个顶点，可得：，可得，可得，解得或，因为，所以．同时双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为．所以，，， ，，故正确的有A、B、D；故选：ABD 7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二阶段练习）以下关于圆锥曲线的四个命题中真命题为（       ）A．设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹是双曲线B．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C．双曲线与椭圆有相同的焦点D．以过抛物线的焦点的一条弦为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切【答案】BCD【解析】对于A： 设，为两个定点，为非零常数，若，若，则动点的轨迹是双曲线；若，则动点的轨迹是两条射线；若，则动点的轨迹不存在;故A错误;对于B： 方程的两根为或2，可以作为椭圆和双曲线的离心率,故B正确;对于C：双曲线的焦点坐标为和，椭圆的焦点坐标为和，故有相同的焦点,故C正确;对于D： 如图示，取抛物线的焦点弦AB的中点P.分别过A、P、B作准线的垂线，垂足为由抛物线的定义可知：弦长.所以过抛物线的焦点的一条弦为直径作圆，圆的圆心为P，半径为.在直角梯形中，为中位线，所以,且.所以准线与圆相切.故D正确.故选：BCD 8．（2022·江苏南京·高二期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是（       ）A．双曲线C的离心率为 B．的面积为C．内切圆半径为 D．的内心在直线上【答案】BD【解析】△为等边三角形,若在同一支，由对称性知轴，，，.,；, 设的内切圆半径为r，则，解得；因为，则可得，，，，则内切圆半径，故内心的横坐标为，内心在直线上.若分别在左右两支，则，则，解得，离心率，，设的内切圆半径为r，则，解得；设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，则，又，则所以，所以的内心在直线上；所以结论一定正确的是BD.故选：BD. 三、解答题9．（2022·江苏镇江·高二阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.(1)求双曲线的方程；(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)解：因为双曲线的一条渐近线方程是，所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为，所以，所以双曲线的方程为(2)解：由题知双曲线的右焦点为，故设直线的方程为， 则联立方程得，设，，所以，因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且，所以，解得：且因为直线与轴交于点，所以，因为，所以所以，点到直线的方程为距离为，所以面积为，令，则，所以，因为在是单调递减函数，所以，所以.所以面积的取值范围为 10．（2022·广东珠海·高二期末）已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.(1)求，的方程；(2)求证：直线和的斜率之积为定值；(3)求证：为定值.【答案】(1)：；：(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】(1)由题设知，椭圆的离心率为解得∴，∵椭圆的左右焦点，是双曲线的左右顶点，∴设双曲线：∴的离心率为解得.∴：：；(2)证明：∵点在上∴设则，∴.∴直线和的斜率之积为定值1；(3)证明：设直线和的斜率分别为，，则设，：与方程联立消得“*”则，是“*”的二根则则同理∴. 11．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.(1)求C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)解：由题意得，解得故C的方程为.(2)显然直线率存在，设直线的方程为，，，联立，得，因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，故，解得，此时有.，，由，解得，同理可得，所以.因为，故.因为，故，故实数的取值范围是.