2023天一大联考顶尖计划高三上学期第一次联考文科数学试题含答案

“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合,则中的元素个数为

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

2. 已知复数, 则

A. 1     B.      C.     D. 3

3. 已知非零向量满足,且,则

A.      B.      C.      D.

4. 在区间内任取一实数，则成立的概率为

A.      B.      C.      D.

5. 我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔( dăo ),周四丈八尺,高一丈一尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为 (注:1丈=10尺,取3)

A. 1088 平方尺  B. 912 平方尺   C. 720 平方尺   D. 656 平方尺

6. 已知不等式组，表示的平面区域不包含点则实数的取值范围是

A.     B.     C.     D.

7. 设数列满足且，则

A.      B.      C.      D. 3

8. 已知函数在处取得最大值,则

A.     B.     C.     D.

9. 已知定义域为的偶函数满足,且当时,,则

A.      B.      C. 1     D. 3

10. 已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,其中, 若 ,则

A. 2     B.      C.      D.

11. 设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则

A.     B.     C.     D.

12. 已知双曲线的离心率为2,直线与交于两点,为线段的中点,为坐标原点.则与的斜率的乘积为

A. 2     B. 3     C. 4     D. 6

二、填空题: 本题共4小题,每小题5分，共 20 分.

13. 小明从雪糕店购买了10种不同的雪糕，这些雪糕的价格（单位：元）如茎叶图所示，则小明购买的雪糕价格的中位数为_____.

14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数:_____.

① ;②当时,单调递减; ③为偶函数.

15. 已知等差数列的前项和为, 则的最大值为_____.

16. 已知圆锥和的底面重合 (为底面圆圆心),点与不重合,且和底面圆周都在同一个半径为2的球面上,设圆锥的体积为,圆锥的体积为,若的最大值为,则当 时,_____ . (用数值作答)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

(一) 必考题:共 60 分.

17. (12 分)

在中，角所对的边为，已知.

(I)求

(II)设的平分线与交于点，求的长.

18. (12 分)

某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件, 它们的质量指标值统计如下:

(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(II)根据所给数据,完成下面的列联表(表中数据单位:件),并判断是否有的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.

附:,其中.

19. (12 分)

如图, 在直三棱柱中,为棱上靠近的三等分点,为棱的中点,点在棱上,且直线平面.

(I) 求的长;

(II) 求点到平面的距离.

20. (12 分)

已知函数.

(I)若，求的极值.

(II)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.

21. (12 分)

过椭圆上任意一点作直线

(I) 证明:;

(II) 若为坐标原点, 线段的中点为,过作的平行线与交于两点, 求面积的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分)

在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.

(I) 写出的直角坐标方程;

(II) 若与只有一个公共点，求的值.

23. [选修 4-5:不等式选讲] (10 分)

已知均为正实数, 且.

(I) 求的最小值;

(II) 证明: .

文科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13.5     14.（不唯一） 15.54     16.

三、解答题：

17.

解析 (I) 由得 ,

再由正弦定理和余弦定理得

整理可得,

所以.

(II) 由余弦定理可得 ,

因为是角的平分线,,

所以, 所以.

在中, ,

所以.

18.解析 (I)由所给数据,各组的频率分别为 0.1,0.15,0.2,0.35,0.2

所以该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数的估计值为

(Ⅱ)列联表如下:

所以

因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.

19.解析 ( I )在上取一点, 使得, 连接.

由已知得 , 所以.

因为平面, 所以平面.

又因为平面

所以平面平面.

根据面面平行的性质可知.

在矩形中, 可得,

所以, 所以.

(II) 连接, 作 垂足为.

由条件知 平面, 所以平面 平面,

故求距离转化为求线段的长.

在中, ,

所以 ,

故点到平面的距离为.

20.解析

( I )当时，令得

当时，，当时

所以在上单调递减，在上单调递增

所以的极小值为，无极大值

(II)①若，当时恒成立，所以在上单调递增

要使方程在上有解, 则

即 得 , 因为, 所以 .

②若，当时恒成立，所以在上单调递减

此吋 不符合条件.

③若 , 当 时, , 当时,

所以在上单调递减，在上单调递增

此时,要使方程在上有解, 则需

得 ,所以.

综上可知，的取值范围为

21. 解析解析(I)联立

消去整理得,

因为点在上, 所以

化简得.

(II) 设,点,则.

由已知得, 所以,

即点满足方程,所以.

由 得 ,

设,则.

所以

所以

令,因为, 所以.

所以

所以面积的最大值为.

22. 解析 (I) 由的极坐标方程可得, 故其直角坐标方程为.

(II) 由的参数方程可得,

即的普通方程为.

联立方程 得, 因为与只有一个公共点,

所以,

解得.

23. 解析 (I) 由基本不等式可知,当且仅当 , 即 时等号成立,所以的最小值为 6 .

(II) 因为, 所以.

.

同理可得

所以，当且仅当时等号成立

所以,

即