贵州黔西南三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

这是一份贵州黔西南三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题，共39页。试卷主要包含了0；，，交y轴于点C，，且∠EAF＝45°等内容，欢迎下载使用。
贵州黔西南三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2020•黔西南州）（1）计算（﹣2）2﹣|﹣|﹣2cos45°+（2020﹣π）0；
（2）先化简，再求值：（+），其中a＝﹣1．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
2．（2021•黔西南州）（1）计算：﹣32﹣|﹣2|+×+（﹣6）0；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
四．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2022•黔西南州）（1）计算：﹣22+×+（）﹣1﹣（π﹣3）0；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．


五．一次函数的应用（共2小题）
5．（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
6．（2021•黔西南州）甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃．春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元/kg；乙商店的樱桃价格为65元/kg．若一次购买2kg以上，超过2kg部分的樱桃价格打8折．
（1）设购买樱桃xkg，y甲，y乙（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求y甲，y乙关于x的函数解析式；
（2）春节期间，如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？
六．二次函数综合题（共3小题）
7．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


8．（2021•黔西南州）如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　，抛物线的解析式为 　 　．
（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．
（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2020•黔西南州）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

七．四边形综合题（共1小题）
10．（2022•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．


八．切线的性质（共1小题）
11．（2021•黔西南州）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若EC＝4，sin∠CAD＝，求⊙O的半径．

九．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2022•黔西南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若E为AH的中点，求的值．

一十．旋转的性质（共1小题）
13．（2021•黔西南州）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

一十一．旋转对称图形（共1小题）
14．（2020•黔西南州）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　 　；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　 　（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有　 　个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．

一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2020•黔西南州）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

一十三．条形统计图（共1小题）
16．（2020•黔西南州）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是 　 　名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　 　，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 　 　；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
一十四．列表法与树状图法（共2小题）
17．（2022•黔西南州）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？

18．（2021•黔西南州）为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 　 　名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．

贵州黔西南三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2020•黔西南州）（1）计算（﹣2）2﹣|﹣|﹣2cos45°+（2020﹣π）0；
（2）先化简，再求值：（+），其中a＝﹣1．
【解答】解：（1）原式＝4﹣﹣2×+1
＝4﹣﹣+1
＝5﹣2；

（2）原式＝[+]•
＝•
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
2．（2021•黔西南州）（1）计算：﹣32﹣|﹣2|+×+（﹣6）0；
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【解答】解：（1）原式＝﹣9﹣2++1
＝﹣9﹣2+4+1
＝﹣6；
（2），
解①得x≥﹣2，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
用数轴表示为：

三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
＝，
解得：x＝2000．
经检验，x＝2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y＝（2000﹣200﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），
y＝﹣300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y＝﹣300a+36000．
∴k＝﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a＝20时，y有最大值，
∴B型车的数量为：60﹣20＝40（辆）．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2022•黔西南州）（1）计算：﹣22+×+（）﹣1﹣（π﹣3）0；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．


【解答】解：（1）﹣22+×+（）﹣1﹣（π﹣3）0
＝﹣4+6+2﹣1
＝3；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
在数轴上表示为：

故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
五．一次函数的应用（共2小题）
5．（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，
得：，
解得：，
答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，
根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，
解得：m≤200，
w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，
答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
6．（2021•黔西南州）甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃．春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元/kg；乙商店的樱桃价格为65元/kg．若一次购买2kg以上，超过2kg部分的樱桃价格打8折．
（1）设购买樱桃xkg，y甲，y乙（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求y甲，y乙关于x的函数解析式；
（2）春节期间，如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？
【解答】解：（1）由题意可得：y甲＝60x，
当x≤2时，y乙＝65x，
当x＞2时，y乙＝65×2+65×0.8（x﹣2）＝52x+26，
∴y乙＝；
（2）当60x＜52x+26时，即时，到甲商店购买樱桃更省钱；
当60x＝52x+26时，即x＝时，到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同；
当60x＞52x+26，即x＞时，到乙商店购买樱桃更省钱．
六．二次函数综合题（共3小题）
7．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，

当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；
（3）存在，
①如图2，若AC是矩形的边，

设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD＝＝，
同理得：CR＝，RD＝2，
∴CD2+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P1与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），
此时直线P1C的解析式为：y＝x+2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），
∴直线P2A的解析式为：y＝x﹣4，
∵点P2是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+4x的交点，
∴﹣x2+4x＝x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），
∴P2（﹣1，﹣5），
当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（﹣4，﹣2）；
②如图3，若AC是矩形的对角线，

设P3（m，﹣m2+4m）
当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴＝，
∴＝，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴﹣m2﹣3m+1＝0，
∴m＝，
∴如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），

当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，
∵P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），
当P4C∥AQ4，P4C＝AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；
综上，点Q的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．
8．（2021•黔西南州）如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．
（1）填空：m＝　1　，n＝　3　，抛物线的解析式为 　y＝2x2﹣4x+1　．
（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．
（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x+1，
可得m＝1，n＝3，
∴A（0，1），B（3，7），
再将A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2+bx+c得，
，
可得，
∴y＝2x2﹣4x+1，
故答案为：1，3，y＝2x2﹣4x+1；
（2）由题意可得y＝2x+1﹣a，
联立，
∴2x2﹣6x+a＝0，
∵直线l与抛物线C仍有公共点
∴Δ＝36﹣8a≥0，
∴a≤，
∴0＜a≤；
（3）存在以AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下：
设Q（t，s），
∴M（，），P（，0），
∴半径r＝，
∵AQ2＝t2+（s﹣1）2＝（s+1）2，∴t2＝4s，
∵s＝2t2﹣4t+1，
∴t2＝4（2t2﹣4t+1），
∴t＝2或t＝，
∴P（1，0）或P（，0），
∴以AQ为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为P（1，0）或P（，0）．

9．（2020•黔西南州）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（，）；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD+PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，
∵A（6，0），C（0，6），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），
∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，
∴P（3，12）；

（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴，
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为，
设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），
∴﹣m2+5m+6＝，解得，m＝或m＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．

七．四边形综合题（共1小题）
10．（2022•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．


【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：如图1，

BE+DF＝EF，理由如下：
在CD的延长线上截取DG＝BE，
同理（1）可得：△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即：∠GAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∴DG+DF＝EF，
∴BE+DF＝EF；
（3）如图2，

作HR⊥BC于R，
∴∠HRG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ABE＝∠HRG，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠EKG＝90°，
∴∠G+∠AEB＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
在△ABE和△GRH中，
，
∴△ABE≌△GRH（AAS），
∴BE＝HR，
在Rt△CRH中，∠ACB＝45°，CH＝b，
∴HR＝b•sin45°＝，
∴BE＝，
∴EF＝BE+DF＝．
八．切线的性质（共1小题）
11．（2021•黔西南州）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若EC＝4，sin∠CAD＝，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO．
又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC，
即∠CAD＝∠BAC；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，
∵∠CED＝∠B，∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD，
∵sin∠CAD＝sin∠DCE＝＝，
∴DE＝，
∴CD＝＝，
∴AC＝8，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴sin∠CAD＝sin∠BAC＝＝，
∴设AB＝3x，BC＝x，
∴AC＝2x＝8，
∴x＝4，
∴AB＝3x＝12，
∴⊙O的半径为6．
方法二：∵∠CAD＝∠BAC，
∴EC＝CB＝4，
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠CAB＝，
∴AB＝12，

∴半径为6

九．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2022•黔西南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若E为AH的中点，求的值．

【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DH是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图所示：

∵AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB，∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD＝AC，OD∥AC，
∴△AEF∽△ODF，
∴＝，
∵∠CED+∠DEA＝180°，∠B+∠DEA＝180°，
∴∠CED＝∠B＝∠C，
∴CD＝ED，
∵DH⊥AC，
∴CH＝EH，
∵E为AH的中点，
∴AE＝AH＝CH，
∴＝＝＝．
一十．旋转的性质（共1小题）
13．（2021•黔西南州）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

【解答】（1）证明：如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
（2）解：结论正确，理由如下：
如图2，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠BFC＝∠BAC＝60°，
∴∠BFE＝120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴×AM×BD＝×CE×AN，
∴AM＝AN，
在Rt△AFM和Rt△AFN中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），
∴∠AFM＝∠AFN，
∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．
一十一．旋转对称图形（共1小题）
14．（2020•黔西南州）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　B　；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　（1）（3）（5）　（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有　C　个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．

【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，
故选B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．
故答案为（1）（3）（5）．
（3）命题中①③正确，
故选C．
（4）图形如图所示：

一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2020•黔西南州）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

【解答】解：（1）如图1中，连接OD、DB，

∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，
∴DE垂直平分OB，
∴DB＝DO，OE＝BE．
解法一：
∵在⊙O中，DO＝OB，
∴DB＝DO＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BDO＝∠DBO＝60°，
∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．
∵∠DBO＝60°，
∴∠CDB＝30°．
∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
解法二：
∵BC＝OB，OB＝OD，
∴＝＝＝，
又∵∠DOE＝∠COD，
∴△EOD∽△DOC，
∴∠CDO＝∠DEO＝90°，
∴CD为圆O的切线；
（2）答：这个确定的值是．
连接OP，如图2中：

由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．
∴＝＝，
又∵∠COP＝∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴＝＝．
一十三．条形统计图（共1小题）
16．（2020•黔西南州）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是 　40　名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　54°　，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 　75　；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（名）；
（2）∵A级的百分比为：×100%＝15%，
∴∠α＝360°×15%＝54°；
C级人数为：40﹣6﹣12﹣8＝14（名）．
如图所示：

（3）500×15%＝75（名）．
故估计优秀的人数为 75；
（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，
∴选中小明的概率为．
故答案为：40；54°；75．
一十四．列表法与树状图法（共2小题）
17．（2022•黔西南州）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝　100　，n＝　35　；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？

【解答】解：（1）m＝10÷10%＝100；
航天知识竞赛的人数有：100×15%＝15（人），
航天资料收集的人数有：100﹣10﹣40﹣15＝35（人），
n%＝×100%＝35%，即n＝35，
补全统计图如下：

故答案为：100，35；

（2）根据题意得：
1800×40%＝720（人），
答：大约有720人选择参观科学馆；

（3）由题意列表得：

甲
乙
丙
丁
甲

甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲

乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙

丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙

共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被分在同一组的有4种，
则甲、乙被分在同一组的概率是＝．
18．（2021•黔西南州）为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 　40　名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 　108°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【解答】解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%＝40（名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40﹣10﹣16﹣2＝12（名），
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：40，108°；
（2）把条形统计图补充完整如下：

（3）1400×＝350（名），
即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；
（4）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为＝．