选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测

这是一份选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测，共15页。

第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·云南昆明一中其他（理））函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
函数的定义域是，，
令，解得，
故函数在上单调递减，
选：D.
2．（2020·开鲁县第一中学月考（理））若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为在区间内存在单调递增区间，
所以在区间上成立，
即在区间上有解，
因此，只需，解得.
故选D
3．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）函数的一个单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，该函数的定义域为，
，
，可得，
令，可得，即，解得.
所以，函数的单调递减区间为.
当时，函数的一个单调递减区间为，
，
对任意的，，，，
故函数的一个单调递减区间为.
故选：A.
4．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（理））函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．[3，+∞)B．[-3，+∞)
C．(-3，+∞)D．(-∞，-3)
【答案】B
【解析】
=3x2+a.
由题得3x2+a≥0，则a≥-3x2，x∈(1，+∞)，
∴a≥-3.
故选：B
5．（2019·宁夏高三其他（文））若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，
又函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
因为，
当时，，所以，
所以.
故选：D.
6．（2020·福建漳州·其他（文））已知是定义在上的函数的导函数，且，当时，恒成立，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
构造函数，因为，所以，
则，所以的图象关于直线对称，
因为当时，，所以，
所以在上单调递增，
所以有，
即，
即，，
故选：A.
7．（2020·河南其他（文））设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
分析:构造函数，得，判断函数在的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出，， 的大小关系．
详解:
设，则，
当时，，故 在为减函数，
，，则，故；
又，，即，故，
．
故选：．
8．（2020·沙坪坝·重庆南开中学月考）设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．(0，2020]D．(1，2020]
【答案】A
【解析】
构造，
则
，
所以为单调递增函数，
又，所以不等式等价于等价于，所以，故原不等式的解集为，
故选：A．
9．（2020·江西南昌二中月考（文））已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
当时，，则，
所以在上单调递增，
由，
所以，
因为函数是定义在R上的偶函数，所以，
所以，
故选：D
10．（2020·重庆期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由函数得，由题意可得恒成立，即为，
设，即，
当时，不等式显然成立；
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，
综上可得实数的取值范围是，
故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）若函数在上是单调函数，则的最大值是______.
【答案】3
【解析】
由题意可得：，由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故，
即在区间上恒成立，据此可得：，
即的最大值是3.
故答案为3．
12．（2020·扬州大学附属中学东部分校月考）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
13．（2020·江西省奉新县第一中学月考（理））若函数在区间上是减函数，则的最大值为_______________
【答案】
【解析】
因为函数在区间上是减函数，
所以在区间上恒成立，
所以，即，即，
令，，则，，
所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
14．（2020·全国高三专题练习）已知函数，若函数的一个单调递增区间为，则实数的值为_______，若函数在内单调递增，则实数的取值范围是_______．
【答案】3
【解析】
（1），
，
函数的一个单调递增区间为，
，.
（2）函数在内单调递增，
，在恒成立，
，在恒成立，
，
故答案为：3；，.
15．（2020·全国高三专题练习）函数y＝x2•lnx的图象在点（1，0）处切线的方程是_____．该函数的单调递减区间是_____．
【答案】y＝x﹣1 （0，e）．
【解析】
函数y＝x2•lnx的导函数为。
所以函数图像上点处的切线的斜率为.
故图象在点（1，0）处切线的方程是.
又由，解得：
所以函数的单调递减区间为：
故答案为：，
16.（2020·山东肥城·高二期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是__；若函数在区间内不单调，则的取值范围是__．
【答案】
【解析】
①由，得，
由函数在区间单调递增，
得在上恒成立，即在上恒成立，
．
的取值范围是；
②函数在区间内不单调，
在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，
由，解得，．
而在区间上单调递减，在，上单调递增．
的取值范围是．
故答案为： ；．
17．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则与的关系为_______(用表示)，若函数在区间上单调递增，则的最大值等于______.
【答案】
【解析】
由题意，函数，可得，所以，
即函数的图象在点处的切线的斜率为
又由函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，可得，
即与的关系为；
又由函数在区间上单调递增，
可得在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，整理得在区间上恒成立，
又由，所以，解得，
所以的最大值等于.
故答案为：，.
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2020·江西期末（文））已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值.
【答案】（1）函数的增区间是，函数的单调减区间是;（2）
【解析】
（1）由已知得函数的定义域为,
函数,
当时,， 所以函数的增区间是;
当且时,，所以函数的单调减区间是, 分
（2）因f(x)在上为减函数，且.
故在上恒成立． 所以当时，．
又 ，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．
19．（2020·全国月考（文））已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】（1）f（x）的递增区间是[lna，+∞）．（2）存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．
【解析】
（1）若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，
即f（x）在R上递增，
若a＞0，ex﹣a≥0，∴ex≥a，x≥ln a．
因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．
（2）由f′（x）=ex﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．
∴a≥ex在x∈（﹣2，3）上恒成立．
又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜ex＜e3，只需a≥e3．
当a=e3时f′（x）=ex﹣e3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，
即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，
∴a≥e3．
故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．
20．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）切线方程为
（Ⅱ）当时，，函数单调递增
当时，，函数单调递减
（Ⅲ）的取值范围是.
【解析】
（Ⅰ），
曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
21．（2020·广东禅城·佛山一中月考）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
【答案】（1）a≥1时，在（-，+）是增函数；0【解析】
（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若0当x∈（x2，x1）时，，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；
（2）当a>0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
22．（2018·浙江余姚中学其他）已知函数．
（1）当时，试求曲线在点处的切线；
（2）试讨论函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
（1）当时，，，切点.
， ，
切线为，即.
（2）
①当时，，
函数的定义域为，所以在上为增函数.
②当时，，所以恒成立，
所以函数的定义域为，且，
所以，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数.
③当时，，定义域为，
所以，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数.
④当时，，
则方程的两个根为，.
由根系关系可知：两根均为正数，且，
定义域为，
又因为对称轴，且，
则，
所以，，为增函数，
，，为增函数，
，，为减函数，
，，为减函数，
，，为增函数.
综上所述：当时，在上为增函数.
当时，在，为增函数，在为减函数.
当时，在，为增函数，在为减函数.
当时，在，，为增函数，
在，为减函数.