高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法图片课件ppt

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1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？
可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下。
（1）第一块骨牌倒下；（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件, 推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.
计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
所以,当n=k+1时猜想也成立.根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
跟踪训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
下面证明猜想正确:(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n=k时猜想成立,
n=1成立时,左边计算所得的项是(　　)A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.答案:C
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(　　)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)
解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.答案:C
∴当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.