河北省保定市2022届高三下学期数学二模试卷及答案

 高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知向量，，则（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分y（单位：分）与每周课外阅读时间x（单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据（，），并据此求得y关于x的线性回归方程为.若一位初中生的每周课外阅读时间为2个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为（　　）

A．70.6 B．100 C．106 D．110

4．已知是空间两个不同的平面，则“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“”的（　　）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

5．若函数，则函数的最小值为（　　）

A．-1 B．-2 C．-3 D．-4

6．已知函数，，，且在上单调递增，则（　　）

A． B． C．2 D．3

7．已知a，，且，则a+2b的最大值为（　　）

A．2 B．3 C． D．

8．已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，直线l：与C交于两点，且四边形的面积为.若点关于点的对称点为，且，则C的离心率是（　　）

A． B． C．3 D．5

二、多选题

9．已知复数z满足方程，则（　　）

A．z可能为纯虚数 B．方程各根之和为4

C．z可能为 D．方程各根之积为-20

10．已知O为坐标原点，椭圆C：的左､右焦点分别为，，两点都在上，且，则（　　）

A．的最小值为4 B．为定值

C．存在点，使得 D．C的焦距是短轴长的倍

11．若直线是曲线与曲线的公切线，则（　　）

A． B． C． D．

12．已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（　　）

A． B． C． D．

三、填空题

13．若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中的系数为　     　.

14．现有10个圆的圆心都在同一条直线上，从左到右它们的半径依次构成首项为1，公比为2的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，前3个圆如图所示，若P，Q分别为第1个圆与第10个圆上任意一点，则的最大值为　     　.（用数字作答）

15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是　     　.

16．已知，则的取值范围为　         　.

四、解答题

17．已知公差为2的等差数列的前n项和为，且.

（1）求的通项公式.

（2）若，数列的前n项和为，证明.

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若，，求△ABC的面积.

19．甲､乙两人进行一次乒乓球比赛，比赛最多打5个回合，先胜3回合者胜出且比赛结束.在每回合比赛中，先发球者获胜的概率为0.6，胜者获得下一回合先发球的资格.已知第1回合中，甲先发球.

（1）求比赛只进行了3回合的概率；

（2）设比赛共进行了X回合，求X的数学期望.

20．如图1，在Rt△ABC中，，，E，F都在AC上，且，，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，C在点P处重合，得到四棱锥P-EFGB，如图2.

（1）证明：.

（2）若M为PB的中点，求钝二面角B-FM-E的余弦值.

21．已知函数.

（1）若，证明：.

（2）当时，恒成立，求a的取值范围.

22．已知抛物线.

（1）直线与交于A、B两点，O为坐标原点.

从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.

①证明：.

②若，求的值；

（2）已知点，直线与交于C、D两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】B,C,D

10．【答案】B,C,D

11．【答案】A,D

12．【答案】B,C

13．【答案】25

14．【答案】2046

15．【答案】36π

16．【答案】

17．【答案】（1）解：由题意，得，

解得：，

故.

（2）证明：因为，

所以

，

因为，

所以.

18．【答案】（1）解：因为，

所以，

所以，

因为，

所以.

因为，

所以.

（2）解：因为，，，

所以由余弦定理，

可得，即，

解得或（舍去），

故△ABC的面积为.

19．【答案】（1）解：因为比赛只进行了3回合，所以甲连胜3回合或乙连胜3回合，

故所求概率为.

（2）解：X的可能取值为3，4，5.

由（1）得，.

比赛进行4回合且甲胜出的情情形如下：甲负胜胜胜､胜负胜胜､胜胜负胜.

.

比赛进行4回合且乙胜出的情形如下：乙负胜胜胜､胜负胜胜､胜胜负胜.

.

.

，

故.

20．【答案】（1）证明：由，，

得，，，则，所以.

因为，所以△ABE∽△ACB，

所以，即.

又，所以平面PEB，

因为平面PEB，所以.

（2）解：以E为坐标原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，

则，，，，，，，，.

平面BFM即平面BPM，设平面BFM的法向量为，

则由，，

得.

令，得.

设平面EFM的法向量为，则，，

即.

令，得.

因为，

所以钝二面角B-FM-E的余弦值为.

21．【答案】（1）证明：当时，，

因为在上单调递增，且，

所以时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增.

所以，

所以，.

（2）解：，

由于函数在均为单调递增函数，

所以，在上单调递增，且.

当，即时，，在上单调递增，

所以.

当，即时，存在唯一的零点，

当时，，在上单调递减，

则，这与恒成立矛盾，所以不满足题意

综上，a的取值范围是.

22．【答案】（1）解：选①：设点、，

联立可得，（*）

当时，方程（*）即为，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，

所以，，，

则，，

所以

.

因为经过抛物线的焦点，

所以，

故.

选②：设点、，

联立可得，（*）

当时，方程（*）即为，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，

所以，，，

则，，

.

因为

，

所以，解得.

（2）解：若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，

设直线的方程为，设点、，

联立得，，

由韦达定理可得，.

因为，所以，

所以，即.

所以直线的方程为，则直线过定点.

因为，所以当点为的中点时，为定值，

故存在定点，使得为定值.