福建省福州立志中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)

这是一份福建省福州立志中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州立志中学2021-2022学年八年级下学期期末考试
数学试卷（含答案与解析）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x2＝﹣1，x2＝1
2．（4分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD∥BC
3．（4分）下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+9＝0 B．x2﹣2x+3＝0
C．x2﹣x＝0 D．（x+2）（x﹣1）＝0
4．（4分）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2
5．（4分）若一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点（﹣3，y1），（5，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，0）、B（4，0）、D（1，2）为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点C的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（4，2） C．（5，2） D．（6，2）
7．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+c的图象如图，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
8．（4分）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）

A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
9．（4分）把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D点重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则A′E的长度是（　　）

A．1.5cm B．2.4cm C．3.4cm D．1.6cm
10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx上，且mn＜0．设，则t的值可以是（　　）
A． B． C．1 D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k＝　 　．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠COD＝60°，AC＝8cm，则DC的长 　 　cm．

13．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元．已知两次降价的百分率均为x则第一次降价后的零售价是　 　元（用含x的代数式表示）；若要求出未知数x，则应列出方程　 　（列出方程即可，不要解方程）．
14．（4分）如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBA＝50°，则∠ACB＝　 　．

15．（4分）已知二次函数y＝x2−6x+7与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则＝　 　．
16．（4分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，若GH的长为，则正方形的边长为　 　．

三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步）
17．（8分）解方程：
（1）（x+1）2＝16；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．

19．（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
（1）求实数a的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
20．（8分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．则这个车棚的长和宽分别应为多少米？

21．（10分）如图，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，4），点C（﹣2，6）在直线AB上，连结OC．
（1）求直线AB对应的函数表达式和△OBC的面积；
（2）点P为直线AB上一动点，△AOP的面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．

22．（10分）为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16．
（1）当每包售价为13元时，求日均利润为多少元？
（2）每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？
23．（10分）某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝　 　．
x
……
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
……
y
……
3
m
0
0.75
1
0.75
0
1.25
3
……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出函数的一条性质　 　；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有　 　个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为　 　．（精确到0.1）
24．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点，EF⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，连接DE交AC于点M，若∠DEF＝15°．
①求∠ADE的度数；
②求DM的长；
（2）如图2，点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG＝BE，连接BF，DG，求证：DG＝BF．

25．（14分）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．
（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．
（2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4．

福建省福州立志中学2021-2022学年八年级下学期期末考试
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x2＝﹣1，x2＝1
【分析】根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：x2﹣x＝0，
因式分解，得x（x﹣1）＝0，
于是，得x＝0，x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1，
故选：A．
【点评】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
2．（4分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD∥BC
【分析】由平行四边形的判定方法得出B、C、D能判断四边形ABCD是平行四边形，A不能判断，即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴A不能判断；
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴B能判断；
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∴C能判断；
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴D能判断；
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
3．（4分）下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+9＝0 B．x2﹣2x+3＝0
C．x2﹣x＝0 D．（x+2）（x﹣1）＝0
【分析】分别进行判别式的值，再利用判别式的意义对A、B、C进行判断；利用因式分解法解方程可对D进行判断．
【解答】解：A、Δ＝（﹣6）2﹣4×9＝0，所以方程有两个相等的实数解，所以A选项错误；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×3＜0，所以方程没有实数解，所以B选项正确；
C、Δ＝（﹣1）2﹣4×0＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以C选项错误；
D、方程两个的实数解为x1＝﹣2，x2＝1，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
4．（4分）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2
【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），
所以所得的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．（4分）若一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点（﹣3，y1），（5，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣3＜5即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣3＜5，
∴y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，0）、B（4，0）、D（1，2）为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点C的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（4，2） C．（5，2） D．（6，2）
【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵D（1，2），B（4，0），
∴AB＝4，
∴点C坐标（5，2）．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、周边游图形的性质的部分知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
7．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+c的图象如图，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】首先根据二次函数图象得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．
【解答】解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＜0，
故一次函数y＝ax+c的大致图象经过一、三、四象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键．
8．（4分）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）

A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案．
【解答】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．
9．（4分）把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D点重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则A′E的长度是（　　）

A．1.5cm B．2.4cm C．3.4cm D．1.6cm
【分析】由折叠可知，AE＝A'E，AB＝A'D，设AE＝x，则A'E＝x，ED＝（5﹣x）cm，在Rt△A'ED中，由勾股定理得（5﹣x）2＝x2+9，求出x即为所求．
【解答】解：由折叠可知，AE＝A'E，AB＝A'D，
∵AB＝3cm，
∴A'D＝3cm，
设AE＝x，则A'E＝x，
∵BC＝5cm，
∴ED＝（5﹣x）cm，
在Rt△A'ED中，ED2＝A'E2+A'D2，
∴（5﹣x）2＝x2+9，
解得x＝，
∴A'E＝cm，
故选：D．
【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx上，且mn＜0．设，则t的值可以是（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】根据（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx上，可得，由各选项的值用含a的代数式表示m、n，再判定mn的符合，满足mn＜0的选项即符合要求．
【解答】解：∵（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx上，
∴，
A、当t＝﹣＝时，b＝﹣a，
∴m＝a+（﹣a）＝a，n＝9a+3×（﹣a）＝7a，
此时m、n同号，与mn＜0矛盾，故A不符合题意；
B、当t＝﹣＝时，b＝﹣a，
∴m＝a+（﹣a）＝0，n＝9a+3•（﹣a）＝6a，
此时mn＝0，与mn＜0矛盾，故B不符合题意；
C、当t＝﹣＝1时，b＝﹣2a，
∴m＝a+（﹣2a）＝﹣a，n＝9a+3•（﹣2a）＝3a，
此时m、n异号，mn＜0，故C符合题意；
D、当t＝﹣＝时，b＝﹣3a，
∴m＝a+（﹣3a）＝﹣2a，n＝9a+3•（﹣3a）＝0，
此时mn＝0，与mn＜0矛盾，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是用含a的代数式表示m、n，再判定mn的符号．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k＝　2　．
【分析】由点（1，2）在正比例函数图象上，根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），
∴2＝k×1，即k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2＝k×1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠COD＝60°，AC＝8cm，则DC的长 　4　cm．

【分析】由矩形的性质可得CO＝DO＝4cm，可证△DOC是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8cm，AO＝CO，BO＝DO，
∴CO＝DO＝4cm，
∵∠COD＝60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴CD＝CO＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元．已知两次降价的百分率均为x则第一次降价后的零售价是　58×（1﹣x）　元（用含x的代数式表示）；若要求出未知数x，则应列出方程　58×（1﹣x）2＝43　（列出方程即可，不要解方程）．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是58（1﹣x），第二次后的价格是58（1﹣x）2，即可得出答案．
【解答】解：∵两次降价的百分率均为x，
∴第一次降价后的零售价是：58（1﹣x），
第二次后的价格是58（1﹣x）2＝43．
故答案为；58（1﹣x），58（1﹣x）2＝43．
【点评】此题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，此题是负增长率，一般设为a（1﹣x）2＝b形式．
14．（4分）如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBA＝50°，则∠ACB＝　25°　．

【分析】由线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，由等腰三角形的性质可得∠FAB＝∠FBA＝50°，由菱形的性质可得∠BAC＝∠BAD＝25°，AB＝BC，即可求解．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝50°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝25°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（4分）已知二次函数y＝x2−6x+7与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则＝　　．
【分析】由根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝7，结合已知即可求解．
【解答】解：由题意可得x1，x2是方程x2﹣6x+7＝0的两个实数解，
可得x1+x2＝6，x1x2＝7，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，根与系数的关系；灵活运用并掌握根与系数的关系是解题的关键．
16．（4分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，若GH的长为，则正方形的边长为　5　．

【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵GH＝，
∴BF＝，
设正方形的边长为a，则
BC＝a，CF＝CD﹣DF＝a﹣2，
在Rt△BCF中，
由勾股定理得，BF2＝CF2+BC2，
∴34＝（a﹣2）2+a2，
解得a＝5或a＝﹣3（舍去），
∴正方形的边长为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步）
17．（8分）解方程：
（1）（x+1）2＝16；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x+1）2＝16，
∴x+1＝4或x+1＝﹣4，
解得x1＝3，x2＝﹣5；
（2）∵2x2﹣5x+3＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．

【分析】求出四边形BECD是平行四边形，推出BD＝CD，根据菱形的判定得出即可；
【解答】证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴CD＝AB．
又∵CD为AB边上的中线
∴BD＝AB．
∴BD＝CD．
∴平行四边形BECD是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．
19．（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
（1）求实数a的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可；
（2）求出根的判别式Δ＝（a+1）2+4＞0，据此可得答案；
【解答】（1）解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
∴1+a+3+a+1＝0，
解得a＝﹣2.5；
（2）证明：∵Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）
＝a2+6a+9﹣4a﹣4
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
20．（8分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．则这个车棚的长和宽分别应为多少米？

【分析】设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度即可确定结论；
【解答】解：设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：x•＝80，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
又∵这堵墙的长度为12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：这个车棚的长为10米，宽为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（10分）如图，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，4），点C（﹣2，6）在直线AB上，连结OC．
（1）求直线AB对应的函数表达式和△OBC的面积；
（2）点P为直线AB上一动点，△AOP的面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；利用三角形面积公式求△OBC的面积；
（2）先确定A点坐标，设P（t，﹣t+4），利用三角形面积公式得到×|﹣t+4|×4＝4，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把（0，4），C（﹣2，6）分别代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
△OBC的面积＝×4×2＝4；
（2）设P（t，﹣t+4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则A（4，0），
∵△AOP的面积与△OBC的面积相等，
∴×|﹣t+4|×4＝4，
解得t＝2或t＝6，
∴P点坐标为（2，2）或（6，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：熟练掌握利用待定系数法求一次函数的一般步骤是解决此类问题的关键．求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
22．（10分）为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，且10≤x≤16．
（1）当每包售价为13元时，求日均利润为多少元？
（2）每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？
【分析】（1）把x＝13代入y＝﹣5x+80求出y＝15，再用一包的利润×15即可；
（2）设日均毛利润为w，根据日均利润＝每包利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵日均销售量y（包）与每包售价x（元）满足y＝﹣5x+80，
∴当x＝13时，y＝﹣5×13+80＝15，
∴日均利润为：（13﹣6）×15＝105（元），
∴当每包售价为13元时，日均利润为105元；
（2）设药店的日均利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣6）y＝（x﹣6）（﹣5x+80）＝﹣5x2+110x﹣480＝﹣5（x﹣11）2+125，
∵﹣5＜0，10≤x≤16，
∴当x＝11时，w有最大值，最大值为125，
∴每包售价定为11元时，药店的日均利润最大，最大为125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，从中找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
23．（10分）某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝　1.25　．
x
……
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
……
y
……
3
m
0
0.75
1
0.75
0
1.25
3
……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出函数的一条性质　当x＞2时，y随x的增大而增大　；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有　4　个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为　0.4　．（精确到0.1）
【分析】（1）把x＝0.5代入函数解析式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）观察函数图象，得到函数y＝|x2﹣2x|的图象当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与直线y＝交点个数即可得到结论；
②画出直线y＝﹣x+1，根据题意和表格即可求得．
【解答】解：（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|，
得y＝|0.52﹣2×（﹣0.5）|＝1.25，
即m＝1.25，
故答案为：1.25；

（2）如图所示；


（3）由函数图象知：当x＞2时，y随x的增大而增大；

（4）①由函数图象知：函数图象与x＝有4个交点，所以对应的方程|x2﹣2x|＝ 4个实数根．
故答案为4；

②如图，

由图象和表格可知方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为0.4，
故答案为0.4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
24．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点，EF⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，连接DE交AC于点M，若∠DEF＝15°．
①求∠ADE的度数；
②求DM的长；
（2）如图2，点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG＝BE，连接BF，DG，求证：DG＝BF．

【分析】（1）①由正方形的性质得AD＝2，AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝45°，则∠ADE＝∠DEC，再证△CEF是等腰直角三角形，得∠FEC＝45°，则∠DEC＝60°，即可得出结论；
②过点M作MH⊥AD于点H，证DM＝2DH，AH＝MH，设DH＝x，则DM＝2x，再由勾股定理得MH＝x＝AH，然后由AH+DH＝AD＝2，得x+x＝2，即可解决问题；
（2）过点F作FH⊥BC于点H，证EH＝CH＝FH，设CG＝BE＝y，则EH＝1﹣，BH＝1+，再由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AD＝2，AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵∠DEF＝15°，
∴∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝15°+45°＝60°，
∴∠ADE＝60°；
②如图1，过点M作MH⊥AD于点H，
∵MH⊥AD，∠DAC＝45°，
∴∠DMH＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∠HMA＝∠DAC＝45°，
∴DM＝2DH，AH＝MH，
设DH＝x，则DM＝2x，
在Rt△MHD中，由勾股定理得：MH＝＝＝x＝AH，
又∵AH+DH＝AD＝2，
∴x+x＝2，
解得：x＝﹣1，
∴DM＝2﹣2；
（2）证明：过点F作FH⊥BC于点H，如图2所示：
∴∠FHB＝∠FHC＝90°，
∵∠ACB＝45°，EF⊥AC，
∴∠FEC＝45°＝∠ACB，
∴FE＝FC，
∴EH＝CH＝FH，
设CG＝BE＝y，则EH＝CH＝FH＝（BC﹣BE）＝1﹣，
∴BH＝BE+EH＝y+1﹣＝1+，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，点G在BC的延长线上，
∴∠DCG＝∠BCD＝90°，
在Rt△BFH和Rt△DGC中，∠FHB＝∠DCG＝∠90°，
由勾股定理得：BF2＝FH2+BH2＝（1﹣）2+（1+）2＝2+y2，DG2＝DC2+CG2＝22+y2＝4+y2，
∴DG2＝2BF2，
∴DG＝BF．


【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（14分）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．
（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．
（2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x＝m﹣，根据二次函数的性质即可得出m﹣≥﹣2，解得即可；
（3）把（0，a），（3，b）两点代入y＝（x﹣m）（x﹣n），表示出a和b，然后将ab配方可得．
【解答】解：（1）当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n），
把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n），
∴n＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4；
（2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n），
∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴n＝m﹣1，
∴对称轴为直线x＝m﹣，
∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴m﹣≥﹣2，
∴m≥﹣；
（3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数），
∴a＝mn，b＝（3﹣m）•（3﹣n），
∴ab＝mn•（3﹣m）•（3﹣n）
＝m（3﹣m）•n（3﹣n）
＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]，
∵2≤m＜n≤3，
∴0＜﹣（m﹣）2+≤2，
0≤﹣（n﹣）2+＜2，
∴0≤ab＜4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．