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新高考高考数学一轮复习巩固练习4.10第39练《解三角形及其应用举例》（2份打包，解析版+原卷版）
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考点一 三角形的解及形状的判定
1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
答案 B
解析 在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，
则由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得eq \f(18,sin 45°)＝eq \f(24,sin B)，
即sin B＝eq \f(24×\f(\r(2),2),18)＝eq \f(2\r(2),3)>eq \f(\r(2),2)，
∵a
从而该三角形有两解．
2．已知在△ABC中，eq \f(tan A,tan B)＝eq \f(a2,b2)，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 C
解析 ∵eq \f(tan A,tan B)＝eq \f(a2,b2)，
∴由正弦定理得，eq \f(sin Acs B,sin Bcs A)＝eq \f(sin2A,sin2B)，
∴eq \f(cs B,cs A)＝eq \f(sin A,sin B)，
∴sin Acs A＝sin Bcs B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
则△ABC是等腰或直角三角形．
3．(2022·北京101中学模拟)在△ABC中，eq \f(c－a,2c)＝sin 2eq \f(B,2)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 依题意，利用正弦定理及二倍角公式得eq \f(sin C－sin A,2sin C)＝eq \f(1－cs B,2)，即sin A＝sin Ccs B，又sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，故sin Bcs C＝0，在三角形中sin B≠0，故cs C＝0，即C＝eq \f(π,2)，故三角形为直角三角形．
4．(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是( )
A．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC一定是等边三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC一定是等腰三角形
C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D．若a2＋b2－c2<0，则△ABC一定是钝角三角形
答案 ACD
解析 对于A，若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，
则eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，
即tan A＝tan B＝tan C，
即A＝B＝C，
所以△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，若acs A＝bcs B，由正弦定理得，
sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
则△ABC为等腰或直角三角形，故B错误；
对于C，若bcs C＋ccs B＝b，
则sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，
所以sin(B＋C)＝sin A＝sin B，
即A＝B，则△ABC一定是等腰三角形，故C正确；
对于D，在△ABC中，a2＋b2－c2<0，
即a2＋b2
所以cs C<0，即角C为钝角，
则△ABC一定是钝角三角形，故D正确．
5．(多选)(2022·南通模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有( )
A．若eq \f(a,sin B)＝eq \f(b,sin A)，则△ABC为等腰三角形
B．若eq \f(a,cs B)＝eq \f(b,cs A)，则△ABC为等腰三角形
C．若tan A＋tan B＋tan C<0，则△ABC为钝角三角形
D．若a＝bsin C＋ccs B，则C＝eq \f(π,4)
答案 ACD
解析 对于A，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
又eq \f(a,sin B)＝eq \f(b,sin A)，
∴sin A＝sin B，而A＋B＋C＝π，
∴只能A＝B，
即△ABC为等腰三角形，故A正确；
对于B，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
∴eq \f(a,cs B)＝eq \f(b,cs A)可化为sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，∵A＋B＋C＝π，
∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝eq \f(sin A,cs A)＋eq \f(sin B,cs B)＋eq \f(sin C,cs C)＝eq \f(sin Acs B＋sin Bcs A,cs Acs B)＋eq \f(sin C,cs C)＝eq \f(sin C,cs Acs B)＋eq \f(sin C,cs C)＝sin Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,cs Acs B)＋\f(1,cs C)))＝sin C·eq \f(cs C＋cs Acs B,cs Acs Bcs C)＝eq \f(sin Asin Bsin C,cs Acs Bcs C).
∵tan A＋tan B＋tan C<0，
而sin A>0，sin B>0，sin C>0，
∴cs A，cs B，cs C中必有且只有一个小于0，
∴△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，∵a＝bsin C＋ccs B，
由正弦定理得sin A＝sin Bsin C＋sin Ccs B，即sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin Bsin C＋sin Ccs B，
∵sin B≠0，
∴cs C＝sin C，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4)，故D正确．
考点二 正、余弦定理的应用举例
6．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( )
A．10eq \r(3) n mile B.eq \f(10\r(6),3) n mile
C．5eq \r(2) n mile D．5eq \r(6) n mile
答案 D
解析 如图，
在△ABC中，AB＝10 n mile，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°.
由正弦定理得eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(10,sin 45°)，
解得BC＝5eq \r(6) n mile.
7．如图，地面上四个5G中继站A，B，C，D.已知CD＝(eq \r(6)＋eq \r(2))km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则A，B两个中继站的距离是( )
A．4eq \r(3) km B．2eq \r(10) km
C.eq \r(10) km D．6eq \r(2) km
答案 C
解析 由题意可得∠DAC＝75°，∠DBC＝45°.
在△ADC中，由正弦定理得
AC＝eq \f(CD·sin∠ADC,sin∠DAC)＝eq \f(\r(6)＋\r(2)×\f(\r(3),2),sin 75°)＝2eq \r(3).
在△BDC中，由正弦定理得
BC＝eq \f(CD·sin∠BDC,sin∠DBC)＝eq \f(\r(6)＋\r(2)×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq \r(3)＋1.
在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cs∠ACB＝(2eq \r(3))2＋(eq \r(3)＋1)2－2×2eq \r(3)×(eq \r(3)＋1)×eq \f(1,2)＝10，
所以AB＝eq \r(10) km.
8．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10eq \r(2) n mile B．10eq \r(3) n mile
C．20eq \r(3) n mile D．20eq \r(2) n mile
答案 A
解析 如图所示，
由已知条件得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
∴∠BCA＝45°.
又AB＝40×eq \f(1,2)＝20(n mile)，
∴由正弦定理可得eq \f(AB,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得BC＝eq \f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq \r(2)(n mile)．
9.如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为( )
A．300 m B．300eq \r(3) m
C．200eq \r(3) m D．275 m
答案 A
解析 ∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，
∴AC＝eq \r(2)AB＝200eq \r(2)(m)，
又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∴∠AMC＝45°，
在△AMC中，eq \f(MC,sin∠MAC)＝eq \f(AC,sin∠AMC)，
∴MC＝eq \f(200\r(2)sin 60°,sin 45°)＝200eq \r(3) (m)，
∴MN＝MCsin∠MCN＝200eq \r(3)sin 60°＝300 (m)．
10．(2022·株洲模拟)如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得在四边形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,3)，∠BAD＝eq \f(2π,3)，AB＝BC＝
400 m，AD＝250 m，则应开凿的隧道CD的长为________ m.
答案 350
解析 在△ABC中，因为AB＝BC＝400 m，∠ABC＝eq \f(π,3)，所以△ABC为等边三角形，
即AC＝400 m，∠ACB＝eq \f(π,3).
又∠BAC＝eq \f(π,3)，∠BAD＝eq \f(2π,3)，
所以∠DAC＝∠BAD－∠BAC＝eq \f(π,3).
在△ADC中，AD＝250 m，AC＝400 m，∠DAC＝eq \f(π,3)，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cs∠DAC，
即CD2＝2502＋4002－2×250×400×cs eq \f(π,3)，
解得CD＝350 m.
11．(多选)地面上有两座相距120 m的塔，高塔的高为H m，矮塔的高为h m，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为eq \f(α,2)，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则下列结论正确的有( )
A．tan eq \f(α,2)＝eq \f(h,120) B．H＝90
C．h＝40 D．H＝80
答案 ABC
解析 tan α＝eq \f(H,120)，tan eq \f(α,2)＝eq \f(h,120)，故A正确；
根据三角函数的倍角公式，
得eq \f(H,120)＝eq \f(2×\f(h,120),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,120)))2).①
设在O点望高塔塔顶的仰角为β，因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，
所以在O点望矮塔塔顶的仰角为eq \f(π,2)－β.
由tan β＝eq \f(H,60)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝eq \f(h,60)，
得eq \f(H,60)＝eq \f(60,h).②
联立①②，解得H＝90，h＝40，
故B，C正确，D错误．
12．(2022·苏州模拟)圭表(圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆)是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为( )
A.eq \f(ltan α－tan β,tan αtan β) B.eq \f(ltan αtan β,tan α－tan β)
C.eq \f(ltan β－tan α,tan βtan α) D.eq \f(ltan βtan α,tan β－tan α)
答案 D
解析 根据题意，作图．
在△ACD中，∠CAD＝β－α，
由正弦定理得，eq \f(AC,sin α)＝eq \f(CD,sinβ－α)，
则AC＝eq \f(l·sin α,sinβ－α).
在Rt△ABC中，AB＝AC·sin β＝eq \f(l·sin αsin β,sinβ－α)＝eq \f(l·sin αsin β,sin βcs α－cs βsin α)＝eq \f(ltan αtan β,tan β－tan α).
13．(多选)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(单位：s)的函数，则下列结论正确的是( )
A．f(3)＝9
B．f(1)＝f(7)
C．若f(t)≥6，则t∈[2＋12k,5＋12k](k∈N)
D．不论t为何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值
答案 BD
解析 设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，依题意可知f(t)的最大值为9，最小值为－3，
所以A＋B＝9，且－A＋B＝－3，
可得A＝6，B＝3.
因为OP每秒钟内所转过的角为eq \f(5×2π,60)＝eq \f(π,6)，
所以f(t)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋3，
当t＝0时，f(t)＝0，得sin φ＝－eq \f(1,2)，
不妨取φ＝－eq \f(π,6)，故所求的函数解析式为f(t)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋3.
对于A，f(3)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×3－\f(π,6)))＋3＝3eq \r(3)＋3，即A错误；
对于B，f(1)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×1－\f(π,6)))＋3＝3，
f(7)＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×7－\f(π,6)))＋3＝3，即B正确；
对于C，因为f(t)≥6，
所以6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋3≥6，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))≥eq \f(1,2)，
所以eq \f(π,6)t－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈N，
解得t∈[2＋12k,6＋12k]，k∈N，即C错误；
对于D，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)
＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋3＋6sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋4－\f(π,6)))＋3＋6sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋8－\f(π,6)))＋3＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,2)))＋6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(7π,6)))＋9
＝6eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋cs \f(π,6)t－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,6)))))＋9，
因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋cs eq \f(π,6)t－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,6)))
＝sin eq \f(π,6)t·cs eq \f(π,6)－cs eq \f(π,6)t·sin eq \f(π,6)＋cs eq \f(π,6)t－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)t·cs \f(π,6)＋cs \f(π,6)t·sin \f(π,6)))＝0，
所以f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝9，为定值，即D正确．
14．某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝(40＋30eq \r(3))n mile，CD＝250eq \r(6) n mile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ＝________.
答案 eq \f(\r(6)－\r(2),4)
解析 如图，设船行驶至F时收到指令，则AF＝50，
连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，过A沿正北方向作MA，过F作FN∥MA交CD于点N，
则AE＝ABsin 60°＝40eq \r(3)，BE＝ABcs 60°＝40，CE＝BC－BE＝30eq \r(3)，AC＝eq \r(AE2＋CE2)＝50eq \r(3)，
cs∠ACE＝eq \f(3,5)，sin∠ACE＝eq \f(4,5)，
所以cs∠ACD＝cs(135°－∠ACE)＝eq \f(\r(2),10)＝eq \f(AC,CD)，
所以∠CAD＝90°，又AF＝50，AC＝50eq \r(3)，
可得∠AFC＝60°，所以θ＝∠CFN＝∠AFN－∠AFC＝∠MAF－∠AFC＝15°，
故sin θ＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
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