2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列函数中，在其定义域上是偶函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知，，是空间三条直线，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若点、不在直线上，且到的距离相等，则直线
D. 若三条直线，，两两相交，则直线，，共面

3. 以下数都在复数范围内
   如果，则，；
   ；
   ；
   若，则．
   其中正确命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知、是平面向量的一组基底，设非零向量，，给出下列两个命题：；则(    )

A. 均正确 B. 均错误 C. 对错 D. 错对

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5. 复数的虚部为______ ．
6. ，，则的取值范围是______．
7. 在三角形中，角，，所对的边分别为，，若，，，则______．
8. 如图，是用斜二测画法得到的的直观图，其中，则的长度为______．

9. 已知、，，，则______．
10. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______．
11. 关于的实系数一元二次方程的一根为，则______．
12. 在中，，，三角形的面积等于，则的长为______．
13. 已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的大小是______结果用反三角函数值表示

14. 给出下列命题：
    若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
    若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；
    若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直；
    若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；
    其中所有错误命题的序号为______．
15. 已知是虚数，是实数，是虚数的共轭复数，则的最小值是______．
16. 若的内角、、，其中为的重心，且，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数，．
    求的值；
    求的最小正周期；
    求的单调减区间．
18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．
    证明：平面；
    证明：平面平面．

19. 已知复数其中、，存在实数，使成立．
    求值：；
    若，求的取值范围．
20. 对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”
    若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；
    已知，，均是向量组的“好向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．
21. 如图，在长方体中，，，点在棱上运动．
    证明：；
    当与重合时，求直线与平面所成角的大小用反三角函数值表示；
    等于何值时，二面角的大小为？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：；
是奇函数；
B.；
是偶函数；
C.；
是奇函数；
D.；
该函数是奇函数．
故选：．
根据奇函数、偶函数的定义即可判断每个选项函数的奇偶性．
考查奇函数和偶函数的定义，及判断过程．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，属于基础题．
由公理可判断，利用空间直线之间的位置关系可判断，，的正误，从而得到答案．
【解答】
解：由公理可知A正确；
若，，则或与相交或异面，故B错误；
若点、不在直线上，且到的距离相等，则直线或与异面或相交，故C错误；
若三条直线，，两两相交，且不共点，则直线，，共面，
若三条直线，，两两相交，且都相交于同一点，则，，不共面，故D错误．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：如果，则，，不正确，因为题中没有说明、为实数．
不正确，因为等式的左边是非负实数，右边不一定是实数．
，正确，因为左右两边都等于的平方．
若，则不一定有，例如：当，，时，
故不正确，
故选：．
由题意，利用复数的运算法则，复数的模的定义和性质，得出结论．
本题主要考查复数的运算法则，复数的模的定义和性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，、是平面向量的一组基，
，，消去得，对；
，
，
，
、的模与夹角不知道，不一定得到错．
故选：．
由可判断；由可判断．
本题考查平面向量平行与垂直，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数的基本概念，是基础题．
直接由复数的基本概念得答案．
【解答】
解：由复数的基本概念知：
复数的虚部为．
故答案为：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
当和同向时，取得最大值，当和反向时，取得最小值，
即，
故答案为：．
利用向量线性运算可解．
本题考查向量的模相关知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由于，，，
所以，
利用正弦定理，整理得．
故答案为：．
直接利用正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：把直观图还原为，如图所示：
根据直观图画法规则知，，，
所以的长度为．
故答案为：．
把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出的长度．
本题考查了直观图画法规则应用问题，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，，，
，，
则，
故答案为：，
利用和差公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：已知向量，，
则，，
则在方向上的投影向量的坐标为，
故答案为：．
由在方向上的投影向量为，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了投影向量的运算，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的实系数一元二次方程的一根为，
则关于的实系数一元二次方程的另一根为，
则，
故答案为：．
关于的实系数一元二次方程的一根为，则关于的实系数一元二次方程的另一根为，然后求解即可．
本题考查了复数的运算，属基础题．
 

12.【答案】，或 

【解析】解：在中，，，三角形的面积等于，
，解得，
为三角形内角，
，
由余弦定理得：，或，
解得：，或．
故答案为：，或．
利用三角形面积公式列出关系式，将与，以及已知面积代入求出的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用余弦定理列出关系式，将，，以及的值代入即可求出的长．
此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，由与平行且相等得是平行四边形，，
设与交于点，则异面直线与所成的角是或其补角，
在矩形中，，，则，
，
，

故答案为：．
设与交于点，证得异面直线与所成的角是或其补角，由余弦定理解三角形可得．
本题考查了异面直线所成角的计算问题，也考查了数形结合应用思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】对于，若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，
则这两条直线相交、平行或异面，故错误；
对于，若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，
则由面面平行的判定定理得这两个平面互相平行，故正确；
对于，若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，
则这两个平面相交或平行，故错误；
对于，若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，
则由线面垂直的性质得这两条直线互相平行，故正确．
故答案为：．
对于，这两条直线相交、平行或异面；对于，由面面平行的判定定理得这两个平面互相平行；对于，这两个平面相交或平行；对于，由线面垂直的性质得这两条直线互相平行．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，，
由是实数，可得，
则，即，
又是虚数，则，所以，
则
，
又，
即当时，取最小值，
故答案为：．
设，，，由是实数，可得，则然后用表示，再结合二次函数的性质求出最值．
本题考查了复数的运算，重点考查了二次函数最值的求法，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为为的重心，所以；
，
因为，所以，
即，整理得，
所以，
所以，
故答案为．
将向量分表表示，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解．
本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，属于中档题目，有一定难度．
 

17.【答案】解：根据函数，，可得．
根据函数，，可得函数的最小正周期为．
对于函数，，令，，
可得，，
故函数的减区间为，． 

【解析】由题意，根据三角函数的解析式，求出三角函数的值．
由题意，利用正弦函数的周期性，得出结论．
由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查根据三角函数的解析式求三角函数的值，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在四棱锥中，四边形为正方形，
连接，，交于点，则是中点，
连接，

为中点，，
平面，平面，平面．
在四棱锥中，四边形为正方形，，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面平面． 

【解析】连接，，交于点，则是中点，连接，则，由此能证明平面．
推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．
本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：复数其中、，存在实数，使成立，
，
，
消去，得；
，
，，
则，解得或，且，
，
的取值范围是． 

【解析】利用共轭复数的概念、复数相等的定义列方程，求出，，由此能求出结果．
根据，求出的取值范围，再利用复数的模，结合二次函数求解．
本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念、复数相等的定义、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：由题意，而，，
，
，解得．
的取值范围是．
，，均是向量组的“好向量”，则．
证明如下：是向量组的“好向量”，
，则，
，
同理，，
，，
． 

【解析】由题意，用坐标表示向量的模，由此能求出结果．
由“好向量”的定义得三个等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理能求出结果．
本题考查向量数量积公式、向量的模、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】证明：连接，，
在正方形中，，
又长方体中平面，平面，所以，，，平面，
所以平面，而平面，所以；

解：如图，平面即为平面，在平面内过作于，
由平面，平面得，，，平面，
所以平面，

所以就是直线与平面所成角，
在直角中，．
所以直线与平面所成角的大小为；
如图二面角是，则二面角是，
作，垂足为，连接，平面，平面，则，，，平面，所以平面，
而平面，所以，

所以是二面角的平面角，即，
在直角中，，，，，
所以，
所以． 

【解析】证明平面可得；
平面即为平面，在平面内过作于，得就是直线与平面所成角，在直角三角形中求解即得直线与平面所成角的大小；
二面角是，则二面角是，作，垂足为，连接，得是二面角的平面角，即，然后求出，，得，从而得．
本题主要考查线面垂直证明线线垂直，线面角的计算，二面角的相关计算等知识，属于中等题．