2023届高考数学一轮复习精选用卷 数形结合思想专练+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 数形结合思想专练+答案解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数形结合思想专练 一、选择题1．(2021·湖北襄阳模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)A．1 B．2C. D．答案　C解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意知⊥，∴O，A，C，B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.2．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于点(1,2)对称B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称答案　A解析　由f(x)＝＝2＋知f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，作出其简图如图所示．从图象可以看出f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称；其在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上均是减函数；没有能使AB∥x轴的点存在．故选A.3．(2021·广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为(　　)A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0答案　A解析　如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8,0)，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0.故选A.4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A．－2 B．－C.－ D．－1答案　B解析　如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1，0)．设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－.当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值－.5．(2022·广东广州花都区高三上调研考试)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则a的取值范围是(　　)A. B．C. D．答案　D解析　令g(x)＝f(x)－x＋a＝0，即f(x)＝x－a，则函数g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数y＝x－a图象的交点个数，作出函数f(x)与函数y＝x－a的图象，如图所示，当x≥－1时，y＝ex，则y′＝ex，令ex＝1，则x＝0，即直线y＝x－a与曲线y＝ex相切的切点为(0,1)，此时a＝－1，因为g(x)存在3个零点，即函数f(x)与函数y＝x－a的图象有3个交点，所以解得－1－≤a<－1，所以a的取值范围是.故选D.6．(多选)(2021·广东佛山顺德容山中学高三月考)若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为(　　)A．2 B．0C.1 D．－1答案　BCD解析　f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过(0,0)，如图，当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点；当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0,0)，因为f′(x)＝ex，所以a＝f′(0)＝e0＝1.故选BCD.7．(多选)(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)已知函数f(x)＝|sinx|cosx，则以下叙述正确的是(　　)A．若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)B．f(x)的最小正周期为2πC．f(x)在上单调递减D．f(x)的图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称答案　BCD解析　f(x)＝|sinx|cosx＝＝作出f(x)的图象如图，对于A，由图知，若f(x1)＝f(x2)，不一定有x1＝x2＋kπ(k∈Z)，如取x1＝－，x2＝，此时满足f(x1)＝f(x2)，但不满足x1＝x2＋kπ(k∈Z)，故A不正确；对于B，由图知f(x)的最小正周期为2π，故B正确；对于C，由图知f(x)在上单调递减，故C正确；对于D，由图知f(x)的图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，故D正确．故选BCD.8．(多选)(2021·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为抛物线上一动点，当P运动到(2，t)时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M(4,1)．下列结论正确的是(　　)A．抛物线的方程为y2＝4xB．|PM|＋|PF|的最小值为6C．存在直线l，使得A，B两点关于直线x＋y－6＝0对称D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切答案　BD解析　因为点P为抛物线y2＝2px(p>0)上的动点，当P运动到(2，t)时，|PF|＝4，所以|PF|＝2＋＝4，p＝4，故y2＝8x，A错误；过点P作PE垂直准线于点E，则|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PE|≥6，当P，E，M三点共线时等号成立，B正确；假设存在直线l，使得A，B两点关于直线x＋y－6＝0对称，则直线l的斜率为1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点H(x0，y0)，则y＝8x1，y＝8x2，两式相减得到(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，即＝，因为＝1，y1＋y2＝2y0，所以＝1，故y0＝4，x0＝2，而点(2,4)在抛物线上，故不存在直线l，使得A，B两点关于直线x＋y－6＝0对称，C错误；过点A作AC垂直准线于点C，交y轴于点Q，取AF的中点为G，过点G作GD垂直y轴于点D，则|DG|＝(|OF|＋|AQ|)＝|AC|＝|AF|，故以AF为直径的圆与y轴相切，D正确．故选BD.二、填空题9．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________．答案　<<解析　作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<.10．不等式sinx＜0，x∈[－π，2π]的解集为________．答案　∪∪(π，2π)解析　在同一坐标系中分别作出y＝|x|－与y＝sinx的图象如图，根据图象可得不等式的解集为∪∪(π，2π)．11．(2021·山东省实验中学高三模拟)已知点F1(－3，0)，F2(3,0)分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，△MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若|PQ|＝2，则C的离心率为________．答案　解析　设△MPF2的内切圆在边MF2上的切点为K，在MP上的切点为N，如图所示．则|PF1|＝|PF2|，|PQ|＝|PN|＝2，|QF2|＝|KF2|，|MN|＝|MK|，则|PF1|＝|PF2|＝|PQ|＋|QF2|＝2＋|QF2|，由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝|MP|＋|PF1|－|MK|－|KF2|＝|MP|＋2＋|QF2|－|MK|－|KF2|＝2＋|MP|－|MN|＝4＝2a，解得a＝2，又c＝3，所以离心率e＝＝.12．(2022·上海控江中学高三上开学考试)已知函数f(x)＝，若对任意实数a，关于x的不等式f(x)≥m在区间上总有解，则实数m的取值范围为________．答案　解析　y＝x＋在区间上的图象如下图所示，根据题意，对任意实数a，关于x的不等式f(x)≥m在区间上总有解，则只要找到其中一个实数a，使得函数f(x)＝的最大值最小即可，如图，函数y＝x＋的图象向下平移到一定程度时，函数f(x)＝的最大值最小．此时只有当f(1)＝f(3)时，才能保证函数f(x)的最大值最小．设函数y＝x＋的图象向下平移了t(t>0)个单位，所以－t＝－(2－t)，解得t＝.所以此时函数f(x)的最大值为－＝，则实数m的取值范围为.三、解答题13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，求m的最大值．解　根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝ ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.14．记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，求定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值．解　在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图．由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}为直线y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y＝13－x上C点下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．解方程组得点C(5,8)．所以f(x)max＝8.15．设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，求|＋|的最小值．解　设AB的中点为D，则＋＝2，∴当且仅当O，D，P三点共线且OP⊥l时，|＋|取得最小值．∵圆心到直线l的距离为＝，|OD|＝＝，∴|＋|的最小值为2×＝.16．设函数F(x)＝其中f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝x2－ln x，方程F(x)＝a2有且仅有4个解，求实数a的取值范围．解　若x∈(0，＋∞)，则F(x)＝g(x)，F′(x)＝g′(x)＝x－，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝.若x∈(－∞，0]，则F(x)＝f(x)．①当a＝0时，方程F(x)＝a2＝0不可能有4个解；②当a<0时，因为f′(x)＝3a(x2－1)，当x∈(－1,0]时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图1所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有4个解；③当a>0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,0]时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图2所示，由图象可知，方程F(x)＝a2若有4个解，则<a2<2a，且2a>，所以实数a的取值范围是.