山东省济宁市汶上县南站中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份山东省济宁市汶上县南站中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市汶上县南站中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＞CE；②S▱ABCD＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝AD，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）匀速地向一个容器注水（注满为止），在注水过程中，若容器中水面高度h与注水时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（　　）

A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，M是BC上的动点，E，F分别是AM，MC的中点，则EF的长随着M点的运动（　　）

A．变短 B．变长
C．不变 D．先变短再变长
5．（3分）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
6．（3分）在▱ABCD中，已知AB＝（x+1）cm，BC＝（x﹣2）cm，CD＝4cm，则▱ABCD的周长为（　　）
A．5cm B．10cm C．14cm D．28cm
7．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（　　）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
8．（3分）等腰三角形的周长为24cm，若它的腰长为xcm，底边长为ycm，则y与x的函数解析式及自变量x的取值范围是（　　）
A．y＝24﹣2x（0＜x＜12） B．y＝24﹣2x（6＜x＜12）
C．y＝24﹣x（0＜x＜12） D．y＝24﹣x（0＜x＜24）
9．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，则∠EAC＝（　　）

A．15° B．28° C．30° D．45°
10．（3分）在下列代数式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为　 　．

12．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC＝1，则PC+PE的最小值是　 　．

13．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝8，BC＝6，则四边形EFGH的面积是 　 　．

14．（3分）甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm，它们的方差依次为S2甲＝0.162，S2乙＝0.058，S2丙＝0.149．根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是　 　机床．
15．（3分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若添加条件　 　，则四边形AEDF是矩形；若添加条件　 　，则四边形AEDF是菱形；若添加条件　 　，则四边形AEDF是正方形．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
16．（6分）计算：
（1）×+÷﹣；
（2）×﹣4××（1﹣）0；
（3）（+）（﹣）；
（4）（﹣+）（﹣﹣）．
四、解答题（本大题共6小题，共49.0分）
17．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F连接DE，BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）当四边形BEDF是菱形时，求BE及EF的长．

18．（7分）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，求上升的时间．

19．（8分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是　 　；
（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM＝ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？
（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM＝ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

20．（8分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
540
680
640
640
780
1110
1070
5460
（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是　 　元，中位数是　 　元，众数是　 　元．
（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：
①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？
答（填“合适”或“不合适”）：　 　．
②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求PQ的长．

22．（10分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．


2021-2022学年山东省济宁市汶上县南站中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＞CE；②S▱ABCD＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝AD，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE＝BE＝BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∵AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，故①错误；
可得∠EAC＝∠ACE＝30°
∴∠BAC＝90°，
∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确；
∵BE＝EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE＝S△ACE，
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△EOC＝S△AEC＝S△ABE，
∴S△ABE＝2S△AOE；故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝CO，
∵AE＝CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE＝30°，
∴EO＝EC，
∵EC＝AB，
∴OE＝BC＝AD，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．
2．（3分）匀速地向一个容器注水（注满为止），在注水过程中，若容器中水面高度h与注水时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据函数图象可以得到各段注水的时间长短，然后根据各个选项中的图形即可解答本题．
【解答】解：由函数图象可得，
OA段注入水的时间比较长，AB段注水的时间最长，BC段注水的时间最短，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和函数的性质解答．
3．（3分）如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（　　）

A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠ADE＝∠E，
∴AB∥CE，
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠B＝∠E，
∴∠ADE＝∠E，
∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，M是BC上的动点，E，F分别是AM，MC的中点，则EF的长随着M点的运动（　　）

A．变短 B．变长
C．不变 D．先变短再变长
【分析】易得EF为三角形AMC的中位线，那么EF长恒等于定值AC的一半．
【解答】解：∵E，F分别是AM，MC的中点，
∴EF＝AC，
∵C是定点，
∴AC是定长，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选：C．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
5．（3分）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
【分析】过点A作AB′⊥直线y＝x于点B′，过点B′作B′C⊥x轴于点C，由点到直线之间垂线段最短即可得出当点B运动到点B′时，AB最短，根据直线BO的解析式可得出∠AOB′＝45°，从而得出△AB′O为等腰直角三角形，再根据点A的坐标即可找出点B′的坐标．
【解答】解：过点A作AB′⊥直线y＝x于点B′，过点B′作B′C⊥x轴于点C，如图所示．
∵AB′⊥BO，
∴当点B运动到点B′时，AB最短．
∵直线BO的解析式为y＝x，
∴点B′的横纵坐标相等，
∴B′C＝OC，
∴∠AOB′＝45°．
∵AB′⊥BO，
∴△AB′O为等腰直角三角形，
∴B′C＝OC＝AO．
∵点A的坐标为（﹣，0），
∴点B′的坐标为（﹣，﹣）．
故选：D．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点到直线的距离以及等腰直角三角形，过点A作直线y＝x的垂线，找出AB最短时点B的位置是解题的关键．
6．（3分）在▱ABCD中，已知AB＝（x+1）cm，BC＝（x﹣2）cm，CD＝4cm，则▱ABCD的周长为（　　）
A．5cm B．10cm C．14cm D．28cm
【分析】当AB＝CD，AD＝BC时，四边形ABCD是平行四边形，得出x+1＝5，得出x＝4，即可求出AD的长．
【解答】解：当AB＝CD，AD＝BC时，四边形ABCD是平行四边形，
∴x+1＝4，
解得：x＝3，
∴AD＝BC＝x﹣2＝3﹣2＝1（cm）．
∴▱ABCD的周长为：2×（4+1）＝10（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，由对边相等得出方程是解决问题的关键．
7．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（　　）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
【分析】先根据方差的公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案．
【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的样本容量为4，中位数为＝3，众数为3，平均数为＝3，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数和平均数，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．
8．（3分）等腰三角形的周长为24cm，若它的腰长为xcm，底边长为ycm，则y与x的函数解析式及自变量x的取值范围是（　　）
A．y＝24﹣2x（0＜x＜12） B．y＝24﹣2x（6＜x＜12）
C．y＝24﹣x（0＜x＜12） D．y＝24﹣x（0＜x＜24）
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出y与x的函数关系式，再利用三角形三边关系得出自变量的取值范围．
【解答】解：∵一个等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，底边长为ycm，
∴y与x的函数关系式为：y＝24﹣2x，
根据三角形三边关系得，
解得6＜x＜12．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，函数关系式以及函数自变量取值范围，正确利用三角形三边关系得出不等式组是解题关键．
9．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，则∠EAC＝（　　）

A．15° B．28° C．30° D．45°
【分析】先根据正方形的性质求得∠DAC的度数，再根据等腰三角形中∠ADE的度数求得∠DAE的度数，最后根据∠EAC＝∠DAC﹣∠DAE，进行计算即可．
【解答】解：∵正方形ABCD中，∠DAC＝45°，∠ADC＝90°
等边三角形DCE中，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝150°，
又∵AD＝CD＝DE，
∴等腰三角形ADE中，∠DAE＝＝15°，
∴∠EAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，解题时注意：△ADE为等腰三角形，其底角的度数等于180°减去顶角的度数，再除以2．
10．（3分）在下列代数式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、，是二次根式，故此选项不合题意；
B、，是二次根式，故此选项不合题意；
C、，是二次根式，故此选项不合题意；
D、，不是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为　36°　．

【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝72°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝108°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；
故答案为：36°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
12．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC＝1，则PC+PE的最小值是　5　．

【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．
【解答】解：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PC+PE的最小值，
∵CD＝4，CE＝1，
∴DE＝3，
在Rt△ADE中，
∵AE＝＝＝5，
∴PC+PE的最小值为5．
故答案为：5．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝8，BC＝6，则四边形EFGH的面积是 　24　．

【分析】先根据E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH＝DH＝BF＝CF，AE＝BE＝DG＝CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣4S△AEH即可得出结论．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，
∴AH＝DH＝BF＝CF＝8，AE＝BE＝DG＝CG＝3．
在△AEH与△DGH中，
，
∴△AEH≌△DGH（SAS）．
同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，
∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣4S△AEH＝6×8﹣4××3×4＝48﹣24＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键．
14．（3分）甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm，它们的方差依次为S2甲＝0.162，S2乙＝0.058，S2丙＝0.149．根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是　乙　机床．
【分析】根据方差的意义判断．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：由于在这三台机床中，乙的方差最小，所以乙机床生产的螺丝质量最好．
故答案为乙．
【点评】本题考查方差的定义意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（3分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若添加条件　∠BAC＝90°　，则四边形AEDF是矩形；若添加条件　AD平分∠BAC　，则四边形AEDF是菱形；若添加条件　∠BAC＝90°且AD平分∠BAC　，则四边形AEDF是正方形．

【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形；
当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形；
当∠BAC＝90°且AD平分∠BAC时，四边形AEDF是正方形．
故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC．
【点评】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
16．（6分）计算：
（1）×+÷﹣；
（2）×﹣4××（1﹣）0；
（3）（+）（﹣）；
（4）（﹣+）（﹣﹣）．
【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答；
（3）利用平方差公式，进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）×+÷﹣
＝2+2﹣4
＝﹣2+2；
（2）×﹣4××（1﹣）0
＝﹣4××1
＝2﹣
＝；
（3）（+）（﹣）
＝8﹣（）2
＝8﹣
＝；
（4）（﹣+）（﹣﹣）
＝（﹣）2﹣（）2
＝8﹣2﹣2
＝6﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
四、解答题（本大题共6小题，共49.0分）
17．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F连接DE，BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）当四边形BEDF是菱形时，求BE及EF的长．

【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝8﹣x．
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，即BE＝5，
∵BD＝＝＝4，
∴OB＝BD＝2，
∵BD⊥EF，
∴EO＝＝，
∴EF＝2EO＝2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
18．（7分）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，求上升的时间．

【分析】（1）根据图象中坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据分析可知：当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m，可得方程x+5﹣（x+15）＝15，解之即可．
【解答】解：（1）设甲气球的函数解析式为：y＝kx+b，乙气球的函数解析式为：y＝mx+n，
分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）代入，
，，
解得：，，
∴甲气球的函数解析式为：y＝x+5（0≤x≤60），乙气球的函数解析式为：y＝x+15（0≤x≤60）；

（2）由初始位置可得：
当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m，
且此时甲气球海拔更高，
∴x+5﹣（x+15）＝15，
解得：x＝50，
∴当这两个气球的海拔高度相差15m时，上升的时间为50min．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是结合实际情境分析函数图象．
19．（8分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是　OM＝ON　；
（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM＝ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？
（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM＝ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

【分析】（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；（2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM＝ON；（3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE＝OF，进而发现点O在∠C的平分线上；（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．
【解答】解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM＝ON；
（2）仍成立．
证明：如图2，连接AC、BD，则
由正方形ABCD可得，∠BOC＝90°，BO＝CO，∠OBM＝∠OCN＝45°
∵∠MON＝90°
∴∠BOM＝∠CON
在△BOM和△CON中

∴△BOM≌△CON（ASA）
∴OM＝ON
（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM＝∠OFN＝90°
又∵∠C＝90°
∴∠EOF＝90°＝∠MON
∴∠MOE＝∠NOF
在△MOE和△NOF中

∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE＝OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴点O在∠C的平分线上
∴O在移动过程中可形成线段AC
（4）O在移动过程中可形成直线AC．

【点评】本题主要考查了四边形中的正方形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．
20．（8分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
540
680
640
640
780
1110
1070
5460
（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是　780　元，中位数是　680　元，众数是　640　元．
（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：
①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？
答（填“合适”或“不合适”）：　不合适　．
②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．
【分析】（1）根据平均数的定义、中位数的定义、众数的定义进行解答即可；
（2）①从极端值对平均数的影响作出判断即可；
②可用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额．
【解答】解：（1）这组数据的平均数＝＝780（元）；
按照从小到大排列为540、640、640、680、780、1070、1110，
中位数为680元，众数为640元；
故答案为：780，680，640；
（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，
所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，
故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适；
故答案为：不合适；
②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，
当月的营业额为30×780＝23400（元）．
【点评】本题主要考查了众数、平均数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想的运用．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求PQ的长．

【分析】（1）根据要求作出图形即可，根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
（2）解直角三角形求出PB，OB，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）图形如图所示．四边形BPEQ是菱形．

理由：∵PQ垂直平分线段BE，
∴OE＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PE∥BQ，
∴∠PEO＝∠OBQ，
∵∠POE＝∠QOB，
∴△POE≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ，
∵OE＝OB，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
∵BE⊥PQ，
∴四边形BPEQ是菱形．

（2）∵AF＝BF，OE＝OB，
∴AE+BE＝2OF+2OB，
设AE＝x，则BE＝18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，
解得x＝8，
∴BE＝18﹣8＝10，
∴OB＝BE＝5，
设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，
解得y＝，
在Rt△BOP中，OP＝＝，
∴PQ＝2OP＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．

【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；
（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵EG∥BF，
∴∠CBF＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CEG+∠BEA＝90°，
∴AE⊥EG，
∴AE⊥BF；
（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：
则AP＝CE，∠EBP＝90°，
∴∠P＝45°，
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，
∴∠ECG＝45°，
∴∠P＝∠ECG，
由（1）得∠BAE＝∠CEG，
在△APE和△ECG中，，
∴△APE≌△ECG（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE＝BF，
∴EG＝BF，
∵EG∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．