高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 分类加法计数原理课前预习ppt课件

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 分类加法计数原理课前预习ppt课件，文件包含11分类加法计数原理12分步乘法计数原理pptx、11分类加法计数原理12分步乘法计数原理doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共48页， 欢迎下载使用。
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
通过两个计数原理的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、分类加法计数原理1.思考　某全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘，那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？
提示　该代表共有3＋4＝7(种)快捷途径可选.
2.填空　分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有N＝______________________种方法.(也称“加法原理”)温馨提醒　(1)完成这件事的若干种方法可以分成n类；(2)每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交.
3.做一做　(1)从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为(　　)A.6 B.5 C.3 D.2解析　由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)不同的选法.
(2)某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　)A.24种 B.9种 C.3种 D.26种解析　不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法.
二、分步乘法计数原理1.思考　用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，……，B1，B2，……的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？提示　编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码.
2.填空　分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝______________________种方法.(也称“乘法原理”)温馨提醒　(1)完成一件事有多个步骤，缺一不可；(2)每一步都有若干种方法.
3.做一做　(1)现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为(　　)A.39 B.24 C.15 D.16解析　先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.
(2)一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有__________种不同的取法.解析　由分步乘法计数原理知，共有6×8＝48(种)不同的取法.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________.解析　法一　根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
法二　分析个位数字，可分以下几类：个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位数字是7的有6个；……个位数字是2的有1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
迁移1 (变条件)若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个.解　当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个.当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个.当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个.同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).
迁移2 (变条件，变设问)用1，2，3这3个数字可以组成没有重复数字的整数________个.解析　分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12，21，23，32，13，31，共6个；第三类为三位整数，有123，132，231，213，321，312，共6个，∴由分类加法计数原理知共可组成没有重复数字的整数3＋6＋6＝15(个).
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
训练1 (1)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)A.14 B.13 C.12 D.10解析　由关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，得a＝0，b∈R或a≠0时，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；若a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；若a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.∴由分类加法计数原理知共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
解析　当m＝1时，n＝2，3，4，5，6，7，有6个.当m＝2时，n＝3，4，5，6，7，有5个.当m＝3时，n＝4，5，6，7，有4个.当m＝4时，n＝5，6，7，有3个.当m＝5时，n＝6，7，有2个.由分类加法计数原理得6＋5＋4＋3＋2＝20(个).故选A.
例2 在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在{0，1，2，3}内取值，则可以组成多少个不同的点P?解　确定点P的坐标必须分两步：第一步，确定横坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，也有4种方法.根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.故可以组成16个不同的点P.
应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确要经过几步才能完成这件事.(2)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整.
训练2 (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A.24 B.18 C.12 D.9
解析　由题意可知E→F共有6条最短路径，F→G共有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径，故选B.
(2)从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有__________个，其中不同的偶函数共有__________个.解析　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数为3×3×2＝18.当b＝0时，函数为偶函数，故不同的偶函数的个数为3×2＝6.
例3 现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
解　(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以共有不同的选法7＋8＋9＋10＝34(种).(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中任选一人当组长.所以共有不同的选法7×8×9×10＝5 040(种).
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解　分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9 种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以共有不同的选法7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).
(1)在处理具体问题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准，关键是看能否独立完成这件事.(2)对于一些比较复杂的问题，我们可以画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.
训练3 (多选)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且其所选的生物课在B层上，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是(　　)
A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节
解析　由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种.综上，自习可安排在4节课中的任一节.故选：BD.
1.牢记两个计数原理：(1)分类加法计数原理； (2)分步乘法计数原理.2.掌握一种思想方法：分类讨论.3.辨清一个易错点：“分步”与“分类”不清导致计算错误.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)A.40 B.16C.13 D.10解析　分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面.
2.已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　)A.1 B.3 C.6 D.9解析　可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点.
3.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有(　　)A.12种 B.7种 C.14种 D.49种解析　完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场.第一步进门共有4＋3＝7(种)方法，第二步出门共有4＋3＝7(种)方法.由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种).
4.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)A.60 B.48 C.36 D.24解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个).
6.现有3名高一学生，5名高二学生，从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法种数是________；若要从高一年级和高二年级中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法种数是________.解析　对于第一空，根据题意，从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，若从高一学生中选，有3种选法，若从高二学生中选，有5种选法，则有3＋5＝8种选法；对于第二空，若要从高一年级和高二年级中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，则从高一学生中选出一人，有3种选法，从高二学生中选出一人，有5种选法，则有3×5＝15种选法.
7.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__________种.
解析　按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1，4，共2种；第2类，脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种.根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况.
8.如图所示，在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有__________个.解析　满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8(个)；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32(个)，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个).
9.用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数.解　分三类：第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3 210，共1个；第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个；第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个.由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15个“渐降数”.
10.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？解　(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成 ，从而确定应用分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的带法.(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的带法.(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法，即有三类情况，应用分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47(种)不同的带法.
11.(多选)用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数.如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是(　　)A.组成的三位数的个数为60B.在组成的三位数中，偶数的个数为30C.在组成的三位数中，“凹数”的个数为20D.在组成的三位数中，“凹数”的个数为30
解析　对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为4×4×3＝48，故A错误；对于B，将所有三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有4×3＝12种，②个位数为2或4，则有2×3×3＝18种，所以在组成的三位数中，偶数的个数为12＋18＝30，故B正确；对C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4×3＝12种，②十位为1，则有3×2＝6种，③十位为2，则有2×1＝2种，所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12＋6＋2＝20种，故C正确，D错误.故选：BC.
12.在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有__________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有__________种不同的方法.
解析　对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法.对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关，有2种方法；第二步，合上B中的一个开关，有3种方法，故有2×3＝6(种)不同的方法.
13.已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？
解　∵集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25(个)不同的数对.
(2)其中所取两数满足m＞n的数对有多少个？
解　在(1)中的25个数对中所取两数满足m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9有5种结果.综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)不同的数对.
14.从1，2，3，4，5这5个整数中，允许重复地取出3个数a，b，c构成一个三位数X＝100a＋10b＋c.(1)X有多少个？其中偶数多少个？(2)将所有的X从小到大排列，第75个X是多少？解　(1)由题意可知a，b，c各有5种取法，所以根据分步乘法计数原理可得构成一个三位数X有5×5×5＝125个；若为偶数，c取值有2种，a，b各5种，按分步乘法计数原理可得2×5×5＝50个.(2)当百位为1时的三位数有5×5＝25个，当百位为2时的三位数有5×5＝25个，当百位为3时的三位数有5×5＝25个，所以将所有的X从小到大排列，第75个X是百位数字为3的组成的最大的三位数为355.