初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形优秀精练

    专题2.6直角三角形

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021秋•嘉兴期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝30°，则∠B的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【分析】由∠C＝90°知∠B+∠A＝90°，结合∠B﹣∠A＝30°求解可得．

【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

∴∠B+∠A＝90°，

又∵∠B﹣∠A＝30°，

∴∠B＝60°，∠A＝30°，

故选：B．

2．（2021春•港南区期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）

A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C 

C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C

【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．

【解析】A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；

B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；

C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；

D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．

故选：D．

3．（2016秋•萧山区校级月考）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（　　）

A．等腰三角形 B．等边三角形 

C．等腰直角三角形 D．直角三角形

【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【解析】A、等腰三角形，三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处，故A错误；

B、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故B错误；

C、因为已知无法确定其两腰相等，而只要是直角三角形就行了，不一定非得是等腰直角三角形，故C错误；

D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故D正确．

故选：D．

4．（2015•菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（　　）

A．140° B．160° C．170° D．150°

【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．

【解析】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，

∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，

∴∠BOC＝90°+70°＝160°．

故选：B．

5．（2014秋•鹿城区校级期中）在直角三角形中，两个锐角的度数比为2：3，则较小锐角的度数为（　　）

A．20° B．32° C．36° D．72°

【分析】根据比例设两锐角分别为2k、3k，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可．

【解析】设两锐角分别为2k、3k，

由题意得，2k+3k＝90°，

解得k＝18，

所以，较小锐角的 度数为18×2＝36°．

故选：C．

6．（2020•上城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°

【分析】根据直角三角形的性质得到DEAB＝BD＝AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

【解析】∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝90°，

∵D是AB的中点，

∴DEAB＝BD＝AD，

∵DE＝BE，

∴DE＝BE＝BD，

∴△BDE为等边三角形，

∴∠ABE＝60°，

∴∠A＝90°﹣60°＝30°，

∵AB＝AC，

∴∠C（180°﹣30°）＝75°，

故选：C．

7．（2021秋•南浔区期末）如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（　　）

A． B．BD＝CD C． D．

【分析】根据三角形中线的定义和直角三角形斜边上中线的性质判断．

【解析】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD＝CDBC，故选项A、B、D不符合题意．

若∠BAC＝90°时，ADBC才成立，否则不成立．故选项C符合题意．

故选：C．

8．（2021秋•颍州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

【分析】由题意推出BD＝AD，然后，在Rt△BCD中，CPBD，即可推出CP的长度．

【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠A＝30°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠DBA＝30°，

∴BD＝AD，

∵AD＝6，

∴BD＝6，

∵P点是BD的中点，

∴CPBD＝3．

故选：A．

9．（2021春•包河区期末）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连结DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　）

A．y＝x B．yx+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90

【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BEA＝90°，根据直角三角形的性质得到AF＝DF，BF＝EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到结论．

【解析】∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；

∴∠ADB＝∠BEA＝90°，

∵点F是AB的中点，

∴AF＝DF，BF＝EF，

∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，

∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，

∴x°＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣y°）﹣180°＝180°﹣2y°，

∴yx+90，

故选：B．

10．（2021秋•北京期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB

【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答．

【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；

BD＝CD，B正确，不符合题意；

∵DE∥AB，

∴∠EDA＝∠BAD，

∵∠EAD＝∠BAD，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴AE＝ED，C正确，不符合题意；

DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•余杭区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝40°，则∠A的度数为　50　°．

【分析】根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，

∵BD＝CDAB，

∴∠B＝∠DCB＝40°，

∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，

故答案为：50．

12．（2020•浙江自主招生）设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则a的取值范围是　10＜a≤10　．

【分析】根据题设知三角形ABC是直角三角形，由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围；然后根据题意列出二元二次方程组，通过方程组求得xy的值，再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程z2﹣az0中，最后由根的判别式求得a的取值范围．

【解析】∵M是AB的中点，MC＝MA＝5，

∴AM＝BM＝CM

∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCM

∵A+∠ACB+∠B＝180°

∴∠ACM+∠BCM＝∠A+∠B＝90°

∴△ABC为直角三角形，AB＝10；

∴a＝AC+BC＞AB＝10；

令AC＝x、BC＝y．

∴，

∴xy，

∴x、y是一元二次方程z2﹣az0的两个实根，

∴△＝a2﹣40，即0＜a≤10．

综上所述，a的取值范围是10＜a≤10．

故答案为：10＜a≤10．

13．（2021秋•苍南县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，D是AB的中点，则∠DCB＝　62　度．

【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠A＝28°，结合图形计算得到答案．

【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，

∴CDAB＝AD，

∴∠ACD＝∠A＝28°，

∴∠DCB＝90°﹣28°＝62°，

故答案为：62．

14．（2021•丹阳市一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E为AB中点，AD、CE相交于F，AD＝DB．若∠B＝35°，则∠DFE等于　105　°．

【分析】根据∠EFD＝∠ADC+∠DCF，只要求出∠ADC，∠DCF即可解决问题．

【解析】∵∠ACB＝90°AE＝EB，

∴CE＝EB＝AE，

∴∠B＝∠ECB＝35°，

∵DB＝DA，

∴∠B＝∠DAB＝35°，

∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝70°，

∴∠EFD＝∠ADC+∠ECB＝105°，

故答案为105．

15．（2021秋•临安区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝60°，那么∠A＝　75　°．

【分析】根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题．

【解析】∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵∠A﹣∠B＝60°，

∴2∠A＝150°，

∴∠A＝75°．

故答案为：75．

16．（2021秋•温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝　35　°．

【分析】利用三角形的内角和定理求出∠CEB，再证明∠A＝∠EBA，利用三角形的外角的性质解决问题即可．

【解析】∵∠C＝90°，

∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝70°，

∵DE垂直平分线段AB，

∴EA＝EB，

∴∠A＝∠EBA，

∵∠CEB＝∠A+∠EBA，

∴∠A＝∠EBA＝35°，

故答案为35

17．（2021秋•萧山区期中）如图，已知AO＝10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON＝60°．

（1）OP＝　5或20　时，△AOP为直角三角形．

（2）设OP＝x，则x满足　0＜x＜5或x＞20　时，△AOP为钝角三角形．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠OAP，根据直角三角形的性质解答；

（2）根据（1）的结论和钝角三角形的定义解答．

【解析】（1）当∠APO＝90°时，∠OAP＝90°﹣∠AOP＝30°，

∴OPOA＝5，

当∠OAP＝90°时，∠OPA＝90°﹣∠AOP＝30°，

∴OP＝2OA＝20，

故答案为：5或20；

（2）当0＜x＜5或x＞20时，△AOP为钝角三角形，

故答案为：0＜x＜5或x＞20  

18．（2015秋•莘县期末）直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是　135°　．

【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．

【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，

∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，

两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个交互补，

根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，

∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，

故答案为：135°．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021秋•吴兴区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACAB．求证：∠B＝30°．

请填空完成下列证明．

证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，

则 CDAB＝AD （　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　）．

∵ACAB，

∴AC＝CD＝AD 即△ACD是等边三角形．

∴∠A＝　60　°．

∴∠B＝90°﹣∠A＝30°．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的判定与性质填空即可．

【解答】证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，

则CDAB＝AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

∵ACAB，

∴AC＝CD＝AD 即△ACD是等边三角形．

∴∠A＝60°．

∴∠B＝90°﹣∠A＝30°．

故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；60．

20．（2014秋•慈溪市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的一条高线，若∠B＝28°．求∠ACD的度数．

【分析】根据同角的余角相等求出∠ACD＝∠B．

【解析】∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，

∵CD是△ABC的一条高线，

∴∠B+∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠B＝28°．

21．（2011春•越城区校级期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBE的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余列式计算即可得解．

【解析】∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，

∴∠CBE＝∠EPD﹣∠ADB＝125°﹣90°＝35°，

∵BE是一条角平分线，

∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°，

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣70°＝20°．

故答案为：20°．

22．（2021秋•余姚市期末）如图，AD是△ABC的高线，且BDAC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和已知求出DE＝BD，根据等腰三角形的性质得出即可．

【解答】证明：连结DE，

∵AD是△ABC的高线，E是AC的中点，

∴，

又∵，

∴DE＝BD．

又∵F是BE的中点，

∴DF⊥BE．

23．（2021秋•萧山区期中）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，且CD＝AE．

（1）求证：CG＝EG．

（2）求证：∠B＝2∠ECB．

【分析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DEAB＝AE，根据等腰三角形的三线合一证明结论；

（2）根据三角形的外角性质证明．

【解答】（1）证明：连接DE，

∵AD⊥BC，点E是AB 的中点，

∴DEAB＝AE，

∵CD＝AE，

∴DE＝DC，又DG⊥CE，

∴CG＝EG．

（2）证明：∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠DCE，

∴∠EDB＝∠DEC+∠DCE＝2∠DCE，

∵DE＝BE，

∴∠B＝∠EDB＝2∠DCE．

24．（2021秋•下城区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P．

（1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC；

（2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数．

【分析】（1）求出∠BAC，∠BCA的度数即可判断；

（2）首先证明∠PAC＝∠PCA＝∠PCD＝30°，推出∠BAD＝60°即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵∠B＝40°，∠AEC＝75°，

∴∠ECB＝∠AEC﹣∠B＝35°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACB＝2∠BCE＝70°，

∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°，

∴∠BAC＝∠BCA，

∴AB＝AC．

（2）∵∠BAC＝90°，AP是△AEC边EC上的中线，

∴AP＝PC，

∴∠PAC＝∠PCA，

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD，

∵∠ADC＝90°，

∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD＝90°÷3＝30°，

∴∠BAD＝60°，

∵∠ADB＝90°，

∴∠B＝90°﹣60°＝30°．