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河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期摸底联考理科数学试题
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这是一份河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期摸底联考理科数学试题
高三理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知，则（ ）A. B2 C.1 D.02.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，，则（ ）A. B. C. D.4.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D.6.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D.7.已知，且，则（ ）A. B. C. D.8.若，则下列不等式中，一定不成立的是（ ）A. B. C. D.9.设，把的图象向左平移个单位长度后，恰好得到函数的图象，则的值可以为（ ）A. B. C. D.10.已知函数则满足的x的取值范围是（ ）A. B. C. D.11.在直角坐标系xOy中，抛物线与圆相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线M的焦点到其准线的距离为（ ）A. B. C. D.12.若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.的展开式的系数为______.14.曲线在点处的切线方程为______.15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则______.16.已知A，B，C，P四点都在以PC为直径的球O的表面上，，，，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的正切值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，平面ABC.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.19.（本小题满分12分）某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为1.2元；超出件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资＋超定额计件工资）不少于3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望.附；，20.（本小题满分12分）在直角坐标系：xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且过点，若C的两焦点与其中一个顶点能构成一个等边三角形.（1）求C的方程.（2）已知过O的两条直线，（斜率都存在）与C的右半部分（y轴右侧）分别相交于A，B两点，且的面积为，试判断OA，OB的斜率之积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，对任意，恒成立，求a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线M的普通方程，并指出曲线M是什么曲线；（2）若直线l与曲线M相交于A，B两点，，求m的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.高三理科数学参考答案、提示及评分细则1.D由题可得，则，，故.2C，，又，.3.B ，.4.D由题可知，，所以双曲线的渐近线方程为.5.B该几何体为一个圆柱体的一半，所以表面积.6.A因为，，所以.又，所以.故选A.7.C，，则.8.A若，则，即，故A不成立；因为，所以，即，故B成立；因为，所以，，所以，又，所以，故C成立；因为，所以，故D成立.故选A.9.D，，则，即.当时，.10.B当时，，所以当时，恒成立；当时，，解得，综上.11.A依题意，不妨设，M与圆C的其中一个交点为O，设另一个交点为，又，所以，则，点A坐标为，代入抛物线方程，解得.12.C由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当令，，解得，综上.13.的展开式的系数为.14.，则曲线在点处的切线方程为，即.15.，，.16.3，的外心为AC的中点，平面ABC，易证，平面ABC.从而球O的半径，又，，，，，.设PB与AC所成角为，则.故.17.解：（1）设等差数列的公差为d，由题意得............................................2分所以.............................................4分故.......................................................5分（2）因为，所以.............................6分.......................................................8分两式相减得........................................11分所以.......................................................12分18.（1）证明；因为平面ABC，所以，........................1分因为，，所以.............................................2分又，所以平面. ..............................................4分（2）解：以C为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，所以，..................................-6分设平面的法向量为，则，所以，，取，则；.....................8分又平面ABC，取平面ABC的法向量，.....................10分所以 .......................11分由图可知，二面角为钝角，所以二面角为............12分19.解：（1>填写2×2列联表如下：....................................................................2分因为的观测值，所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关........................................... 4分（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时，其实得计件工资为元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为，女员工实得计件工资不少于3100元的概率为.........................................................5分设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为X，1名男员工中实得计件工资在3100元及以上的人数为Y，则，. .................................................. 6分Z的所有可能取值为0，1，2，3，...............................................7分，...............8分，..............9分，....................................................10分所以Z的分布列为...............................................................................................11分故................................................12分20.解：（1）由题意可知，即................................1分又，得. ..............................2分把代入C的方程得，又，解得，...........................3分从而，，故C的方程为. ..........................4分（2）设，，y：），OA，OB的斜率分别为，.联立方程组得，..............................................5分同理得，.................................................6分则................................................7分因为点B到直线OA的距离，..............................................8分所以的面积为，...............9分则................ 10分整理得................11分即，故，的斜率之积为定值.且定值为................12分21.解：（1）函数的定义域为，................ 2分当时，，，所以在上单调递减；...............2分，，所以在上单调递增. ................3分当时，，，所以在上单调递减；...................4分，，所以在上单调递增. ...................5分（2）因为，所以. ...................6分由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以. ...................7分因为与，所以.................... 8分设，则，所以在上单调递增，故，所以，......................9分从而，所以，即. ......................10分设，则.当时，，所以在上单调递增，......................11分又，所以，等价于，则.因为，所以a的取值范围为. ......................12分22.解：（1）由（为参数），消去参数得，故曲线M的普通方程为，..................................... 2分曲线M的轨迹是以为圆心，3为半径的圆. ..................................4分（2）由，展开得，的直角坐标方程为...................6分圆心到直线的距离为，...................................8分则，解得. ..............................10分23.解：（1）因为.............................2分所以的解集为. ..........................................5分（2）因为，所以，.............................6分即，则，......................................... 8分所以. ...................................................10分 每月完咸合格产品的件数（单位：百件）频数10453564男员工人数7231811非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工合计0.0500.0100.0013.8416.63510.828非“生产能手”“生产能手”合计男员工48250女员工42850合计9010100Z0123P
高三理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知，则（ ）A. B2 C.1 D.02.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，，则（ ）A. B. C. D.4.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D.6.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D.7.已知，且，则（ ）A. B. C. D.8.若，则下列不等式中，一定不成立的是（ ）A. B. C. D.9.设，把的图象向左平移个单位长度后，恰好得到函数的图象，则的值可以为（ ）A. B. C. D.10.已知函数则满足的x的取值范围是（ ）A. B. C. D.11.在直角坐标系xOy中，抛物线与圆相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线M的焦点到其准线的距离为（ ）A. B. C. D.12.若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.的展开式的系数为______.14.曲线在点处的切线方程为______.15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则______.16.已知A，B，C，P四点都在以PC为直径的球O的表面上，，，，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的正切值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，平面ABC.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.19.（本小题满分12分）某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为1.2元；超出件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资＋超定额计件工资）不少于3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望.附；，20.（本小题满分12分）在直角坐标系：xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且过点，若C的两焦点与其中一个顶点能构成一个等边三角形.（1）求C的方程.（2）已知过O的两条直线，（斜率都存在）与C的右半部分（y轴右侧）分别相交于A，B两点，且的面积为，试判断OA，OB的斜率之积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，对任意，恒成立，求a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线M的普通方程，并指出曲线M是什么曲线；（2）若直线l与曲线M相交于A，B两点，，求m的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.高三理科数学参考答案、提示及评分细则1.D由题可得，则，，故.2C，，又，.3.B ，.4.D由题可知，，所以双曲线的渐近线方程为.5.B该几何体为一个圆柱体的一半，所以表面积.6.A因为，，所以.又，所以.故选A.7.C，，则.8.A若，则，即，故A不成立；因为，所以，即，故B成立；因为，所以，，所以，又，所以，故C成立；因为，所以，故D成立.故选A.9.D，，则，即.当时，.10.B当时，，所以当时，恒成立；当时，，解得，综上.11.A依题意，不妨设，M与圆C的其中一个交点为O，设另一个交点为，又，所以，则，点A坐标为，代入抛物线方程，解得.12.C由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当令，，解得，综上.13.的展开式的系数为.14.，则曲线在点处的切线方程为，即.15.，，.16.3，的外心为AC的中点，平面ABC，易证，平面ABC.从而球O的半径，又，，，，，.设PB与AC所成角为，则.故.17.解：（1）设等差数列的公差为d，由题意得............................................2分所以.............................................4分故.......................................................5分（2）因为，所以.............................6分.......................................................8分两式相减得........................................11分所以.......................................................12分18.（1）证明；因为平面ABC，所以，........................1分因为，，所以.............................................2分又，所以平面. ..............................................4分（2）解：以C为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，所以，..................................-6分设平面的法向量为，则，所以，，取，则；.....................8分又平面ABC，取平面ABC的法向量，.....................10分所以 .......................11分由图可知，二面角为钝角，所以二面角为............12分19.解：（1>填写2×2列联表如下：....................................................................2分因为的观测值，所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关........................................... 4分（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时，其实得计件工资为元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为，女员工实得计件工资不少于3100元的概率为.........................................................5分设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为X，1名男员工中实得计件工资在3100元及以上的人数为Y，则，. .................................................. 6分Z的所有可能取值为0，1，2，3，...............................................7分，...............8分，..............9分，....................................................10分所以Z的分布列为...............................................................................................11分故................................................12分20.解：（1）由题意可知，即................................1分又，得. ..............................2分把代入C的方程得，又，解得，...........................3分从而，，故C的方程为. ..........................4分（2）设，，y：），OA，OB的斜率分别为，.联立方程组得，..............................................5分同理得，.................................................6分则................................................7分因为点B到直线OA的距离，..............................................8分所以的面积为，...............9分则................ 10分整理得................11分即，故，的斜率之积为定值.且定值为................12分21.解：（1）函数的定义域为，................ 2分当时，，，所以在上单调递减；...............2分，，所以在上单调递增. ................3分当时，，，所以在上单调递减；...................4分，，所以在上单调递增. ...................5分（2）因为，所以. ...................6分由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以. ...................7分因为与，所以.................... 8分设，则，所以在上单调递增，故，所以，......................9分从而，所以，即. ......................10分设，则.当时，，所以在上单调递增，......................11分又，所以，等价于，则.因为，所以a的取值范围为. ......................12分22.解：（1）由（为参数），消去参数得，故曲线M的普通方程为，..................................... 2分曲线M的轨迹是以为圆心，3为半径的圆. ..................................4分（2）由，展开得，的直角坐标方程为...................6分圆心到直线的距离为，...................................8分则，解得. ..............................10分23.解：（1）因为.............................2分所以的解集为. ..........................................5分（2）因为，所以，.............................6分即，则，......................................... 8分所以. ...................................................10分 每月完咸合格产品的件数（单位：百件）频数10453564男员工人数7231811非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工合计0.0500.0100.0013.8416.63510.828非“生产能手”“生产能手”合计男员工48250女员工42850合计9010100Z0123P
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