2022届重庆市巴蜀中学校高三下学期适应性月考（十）数学试题含解析

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2022届重庆市巴蜀中学校高三下学期适应性月考（十）数学试题一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，根据并集的概念可求出结果.【详解】由，得，所以，由，得，故，所以.故选：B．2．已知复数为其共轭复数，则的虚部为（       ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】写出共轭复数，代入中，根据复数的除法运算即可化简，即可得虚部.【详解】，虚部为-2，故选：B．3．设，，是空间中三条不同的直线，已知，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据空间中直线位置关系判断两个条件的推出关系即可得解.【详解】由且不一定推出，故不满足充分性；由且一定推出，故满足必要性.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于熟练掌握空间两条直线位置关系的判断.4．已知直线与直线互相平行，则实数的值为(       )A． B．2或 C．2 D．【答案】D【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒【详解】直线斜率必存在，故两直线平行，则，即，解得，当时，两直线重合，∴．故选：D．5．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（       ）（附：）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数的换底公式运算可得结果.【详解】.故选：C．6．已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（       ）A．4 B．5 C． D．【答案】A【分析】设焦点为，到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得，故将变为,求得答案.【详解】设焦点为，到准线的距离为，则，所以，当且仅当P,M,F三点共线时取等号，故选：A．7．若函数，则下列说法正确的是（       ）A．是偶函数B．的最小正周期是C．在区间上单调递增D．的图象关于直线对称【答案】C【分析】A选项，可以利用函数的奇偶性定义进行判断；求出在的解析式，进而画出函数在R上的图象，从而判断出BCD选项.【详解】A选项，定义域为R，且，所以是奇函数，A错误；当时，画出图象，显然的最小正周期是，B错误；在区间上单调递增，选项C正确；直线不是的对称轴，D错误；故选：C．8．骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱．如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆，后轮圆的半径均为，，，均为边长为4的正三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（       ）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】C【分析】以为基底，表示，根据数量积的计算以及性质，即可求解.【详解】选择为基底，，，故选:C．二、多选题9．下列命题正确的是（       ）A．若，则 B．若且，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明.【详解】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误；对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确；对选项C：若，则，所以选项C错误；对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确，故选：BD．10．在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（       ）A．平面平面B．三棱雉外接球的表面积为C．异面直线与所成角为D．点到平面的距离与点到平面的距离相等【答案】ABD【分析】利用面面垂直的判定定理可判断A, 由三棱锥外接球就是正方体的外接球可判断B;利用线线角的定义可判断C;利用点面距离分析可判断D.【详解】如图，对选项A，因为，所以平面，平面,从而平面平面，故A正确；对选项B，三棱锥外接球就是正方体的外接球，所以外接球半径，外接球表面积，故B正确；对选项C，异面直线与所成角即为与所成角，平面，平面，,，所以异面直线与所成角不是，故C错误；对选项D，因为被平分，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，故D正确，故选:ABD．11．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（       ）A．A与B相互独立 B．A与D互为对立 C．B与C互斥 D．B与D相互独立【答案】ABD【分析】设2个红球为，，2个白球为，，运用列举法得出样本空间，及事件A、B、C、D，根据事件相互独立、互斥、对立的概念，逐一判断可得选项.【详解】解：设2个红球为，，2个白球为，，则样本空间为，共12个基本事件，事件，共4个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共8个基本事件；A．由于，，，故成立，所以A与B相互独立，故A正确；B．由于，，故A与D是对立事件，故B正确；C．由于，故B与C不互斥，故C不正确；D．由于，，，故成立，所以B与D相互独立，故D正确.故选：ABD.12．若关于x的不等式在区间上有唯一的整数解，则实数m的取值可以是（       ）A．1 B． C． D．【答案】CD【分析】将不等式等价变形为，构造函数，，作出函数图象，结合图象求出有唯一正整数解的m取值范围作答.【详解】依题意，，设，，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则有，，当时，恒有，又函数的图象是恒过点的直线，在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，因在区间上有唯一的整数解，观察图象知，的唯一的整数解是1，因此，，且，即，解得，因，即1，不满足，，满足.故选：CD【点睛】关键点睛：涉及不等式有整数解问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数性质，画出函数图象，数形结合是解决问题的关键.三、填空题13．的二项展开式中的常数项为___________．【答案】15【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意，即可容易求得结果.【详解】因为的通项公式，令，故可得，则二项展开式的常数项为.故答案为：15．14．已知双曲线的一个焦点为，焦点到渐近线的距离为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________．【答案】【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为，，即可得到，进而可得离心率.【详解】渐进线方程为： ，到渐近线的距离所以，所以，即，离心率．故答案为：15．已知，则________．【答案】【分析】换元法，结合诱导公式，二倍角公式进行求解.【详解】令，则，，所以，，所以．故答案为：-1四、双空题16．对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则________；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________．【答案】     1+3n；     .【分析】根据数列的新定义可得，据此得当时，，两式相减即可求出通项公式，令，根据等差数列和的最大值的性质可得求解即可.【详解】因为，所以①，所以当时，，当时，②，①−②：，所以，综上：，，令，则，可知为等差数列，又因为对任意，恒成立，所以 则有 解得．故答案为：；五、解答题17．已知是数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用判断出数列是以1为首项，3为公比的等比数列，直接写出通项公式；（2）利用错位相减法求和.【详解】(1)当时，，又，①当时，②     ①−②得：，即，∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，∴ ．(2)，③，④③−④得：，所以．18．如图，在中，分别是的中点．从条件①；②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：(1)求的余弦值；(2)若相交于点，求的余弦值．（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）【答案】(1)条件选择见解析，(2)条件选择见解析，【分析】（1）若选择条件①：由余弦定理计算，再由余弦定理计算的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得出，，再由余弦定理计算的余弦值；（2）若选择条件①：由余弦定理得出，，再由得出，，最后由余弦定理得出的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得出，再由得出，，最后由余弦定理得出的余弦值；【详解】(1)若选择条件①：在中，由余弦定理可求得，．若选择条件②：在中，，，由余弦定理可求得，所以，在中，由余弦定理可求得．．(2)若选择条件①：在中，由余弦定理可求得，由于分别是的中点，所以，则，，，在中，由余弦定理可得．连接，由，可得，则．所以，，在中，余弦定理求得．若选择条件②：由于分别是的中点，所以，则，，，在中，由余弦定理可得．连接，由，可得，则．所以，，在中，余弦定理求得．19．如图，在四棱雉中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．(1)求证：平面平面；(2)若为线段上靠近的三等分点，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，证明，结合线面垂直的性质、判定证得平面，再由面面垂直的判断推理作答.（2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【详解】(1)因，为中点，则，又底面，而底面，则有，又因，，平面，于是得平面，而平面，因此，又，平面，从而得平面，平面所以平面平面．(2)以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，因底面，则平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，得，设二面角的平面角为，显然为锐角，则，所以二面角的余弦值为．20．甲、乙两名同学参加某个比赛，比赛开始前箱子中装有3个红球3个白球，箱子中装有1个红球2个白球．比赛规则是：先由甲同学从箱子中每次取一个球放入箱子中，若从箱子中放入箱子中的球是红球则停止取球，若是白球则继续取球放球过程，直到第一次取到红球并放入箱子中为止．然后再由乙同学从箱子中任取一个球，若取出的是红球则乙同学获胜，否则甲同学获胜．(1)用表示甲同学从箱子中取出放入箱子中球的个数，求的分布列及数学期望；(2)求甲同学获胜的概率．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)【分析】（1） 求出的取值和概率可得分布列；（2）分别计算箱子中装有2个红球2个白球的概率、箱子中装有2个红球3个白球的概率、箱子中装有2个红球4个白球的概率、箱子中装有2个红球3个白球的概率，再求和可得答案.【详解】(1)的可能取值是，，，，，故的分布列是故数学期望为，故的数学期望是．(2)时，表示箱子中装有2个红球2个白球，则甲获胜的概率，时，表示箱子中装有2个红球3个白球，甲获胜的概率，时，表示箱子中装有2个红球4个白球，甲获胜的概率， 时，表示箱子中装有2个红球5个白球，甲获胜的概率，故甲获胜的概率21．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为．(1)求的方程；(2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据焦点三角形的周长及离心率求出即可得解；（2）设，的坐标分别为，，，利用椭圆方程消元后可得的轨迹方程，据此可知是关于的二次函数，利用二次函数单调性求范围即可.【详解】(1)由椭圆的定义知，的周长为，所以，由离心率，解得，所以的方程为．(2)设，的坐标分别为，，，则有 ①， ②，，由①−②可得：，即，将条件及，带入上式可得点的轨迹方程为，所以，，所以，所以线段长度的取值范围为．22．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：存在唯一极大值点，且．【答案】(1)；(2)证明见解析﹒【分析】(1)求出f(x)的导数，求出f(1)和，根据导数几何意义和直线的点斜式方程即可求解；(2)讨论的正负，判断f(x)的单调性，从而可证明f(x)有唯一极大值点，并可求出的范围，结合和即可求出的范围．【详解】(1)，，，∴曲线在点处的切线方程为，即；(2)，令，得或，设，∵在上单调递增，且，，∴存在唯一，使得，即，故时，x-2