2024届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考(一)数学试题含解析
展开这是一份2024届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考(一)数学试题含解析,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2024届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考(一)数学试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先求出集合,再由交集的定义求解即可.
【详解】因为,所以,即,
所以,,所以,
故选:C.
2.“”是“”的( )条件.
A.必要而不充分 B.充分而不必要
C.充分必要 D.既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由对数函数的性质,解不等式,根据充分条件和必要条件的关系,可得答案.
【详解】由,得,因而“”是“”的必要而不充分条件.
故选:A.
3.若函数的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由函数的定义域,求出的定义域,即可得出答案.
【详解】由题意可知,所以,所以的定义域为,
从而的定义域为.
故选:D.
4.已知函数,那么的极大值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】对求导可得,再令求极值点,讨论单调性即可求出的极大值.
【详解】函数为,
令可得
当时,;
当时,;
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
故选:A.
5.设为抛物线的焦点,点在上,点,若,则的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.
【答案】B
【分析】求出焦点的坐标,根据两点间距离公式求得,即的长度,根据抛物线定义可求得点坐标,进而可求出面积.
【详解】
由题意得,,则,即点到准线的距离为2,
所以点的横坐标为,所以,
由各点坐标易知,所以.
故选:B.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在上,且,,则的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义得到的长,再在中利用余弦定理求出的关系,从而得到的值即可得到结果.
【详解】由双曲线的定义可得:,则,
在中由余弦定理得,
即:,
即,
因为,
所以,
即的渐近线方程为.
故选:C.
7.定义在上的函数满足,且当时,,当时,的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据题意,求得在区间上,可得,作出函数的图象,结合图象,即可求解.
【详解】由函数满足,且当时,
当时,可得;
当时,可得,
所以在区间上,可得,
作函数的图象,如图所示,
所以当时,,
故选:B.
8.已知函数是奇函数的导函数,且满足时,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数,求导后可判断当时,函数单调递减,再由,可得当时,,再由为奇函数,得时,,从而可求得不等式的解集.
【详解】令函数,则,即当时,函数单调递减,
因为,所以当时,,当时,.
因为当时,,当时,,所以当时,.
又,,所以当时,;
又为奇函数,所以当时,,
所以不等式可化为或,解得,
所以不等式的解集为,
故选:D.
【点睛】关键点点睛:此题考查导数的应用,考查利用导数解决函数单调性问题,解题的关键是根据题意构造函数,然后求导后可判断函数的单调性,从而利用函数的单调性解不等式,考查数学转化思想,属于较难题.
二、多选题
9.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件,“乙骰子正面向上的点数为奇数”为事件,“至少出现一个骰子正面向上的点数为奇数”为事件,则下列判断正确的是( )
A.,为互斥事件 B.,互为独立事件
C. D.
【答案】BC
【分析】观察事件,是否可以同时发生,可判定A选项;计算看是否相等,即可判定B选项;用对立事件可算出事件的概率,即可判定C选项;用条件概率的公式可计算其概率,则D选项可判定.
【详解】,可以同时发生,A选项错误;
,,从而,互为独立事件,B正确;
,C正确;
,D选项错误.
故选:BC.
10.已知函数的定义域为,且,,,则( )
A. B.是偶函数
C.的一个周期 D.
【答案】AC
【分析】由函数的对称中心和对称轴确定函数的奇偶性与周期为4,代入特殊值求得,,,即可求解.
【详解】对于A,由,得,由,得,
又,所以,所以,因此A选项正确;
对于B,因为,所以函数为奇函数,因此B选项错误;
对于C,因为,所以,即,
所以,所以函数的周期,因此C选项正确;
对于D,将代入,得,,而,
将代入,得,将代入,得,
所以因此D选项错误.
故选:AC.
11.已知数列满足,,则( )
A. B.为等比数列
C. D.数列的前项和为
【答案】ACD
【分析】对于A,由递推式直接求解,对于B,对递推式变形进行判断,对于C,由等差数列的通项公式求解,对于D,利用裂项相消法求解.
【详解】对于A,因为,,所以,,所以A正确;
对于B,因为,所以,即,
所以为等差数列且非常数列,所以 B不正确;
对于C,由选项B可知,所以,所以,所以 C正确;
对于D,,所以,所以D正确,
故选:ACD.
12.已知函数,若关于的方程有个不等的实根、、、且,则下列判断正确的是( )
A.当时, B.当时,的范围为
C.当时, D.当时,的范围为
【答案】ABC
【分析】令,求出方程的两根,数形结合可判断A选项;根据零点个数得出关于的不等式组,求出的范围,可判断BD选项;利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项.
【详解】令,则,,
A.当时,,,由有解,有4解,故,A对;
B.当时,则方程、各有一解,
当时,,当且仅当时,等号成立,
由图可得,解得,B对;
C.当时,如下图所示:
由图象可知,点、关于直线对称,则,
由图可知,,,由可得,所以,,
则,因此,,C对;
D.当时,有两种情况:或,
从而可得的范围为,D错.
故选:ABC.
【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
三、填空题
13.二项式的展开式中项的系数为 .
【答案】
【分析】求得二项展开式的通项,结合,求得的值,代入即可求解.
【详解】二项式的展开式的通项为,
令,解得,所以展开式中项的系数为.
故答案为:.
14.若,且,则的最小值为 .
【答案】8
【分析】由可得, ,再与相乘构建积定式,继而可用基本不等式求最小值.
【详解】
可得,,(当且仅当时取等号).
故答案为:8.
15.在数列中,若,前项和,则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意,求得,得到,结合二次函数的性质,即可求解.
【详解】由数列中,因为,且,
可得,解得,所以,
则为的二次函数,对称轴为,故当或6时取得最大值,
又由,所以的最大值为.
故答案为:.
16.已知函数,若不等式对任意均成立,则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数为奇函数且为增函数得,则有,求出右边最小值即可.
【详解】因为的定义域为,且,所以函数是奇函数,
由,所以函数为上单调递增的奇函数,
所以不等式对任意均成立等价于,
即,即对任意均成立,
又,当且仅当时取等号,
所以的取值范围为.
故答案为:
四、解答题
17.已知数列满足,
(1)记,求证:为等比数列;
(2)若,求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由可知结合可得进而可证为等比数列;
(2)由(1)结论可先求出的通项公式,进而求出的通项公式,再根据求出的通项公式,则可求.
【详解】(1)证明:且
,
又
,
为以4为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知:,
,
又,
,
所以
.
18.巴蜀中学进行90周年校庆知识竞赛,参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答,竞赛规则规定:每题回答正确得10分,回答不正确得分.
(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响,记甲的总得分为,求的期望和方差;
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道,记乙的总得分为,求的分布列.
【答案】(1)24,256
(2)分布列见解析
【分析】(1)设甲答对题目的数目为,则,所以,根据二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算可得;
(2)设乙答对题目的数目为,则服从超几何分布,且,根据超几何分布的概率公式求出分布列.
【详解】(1)设甲答对题目的数目为,则,所以,
所以;
.
(2)设乙答对题目的数目为,则服从参数为,,的超几何分布,
且,
所以,,
,,
,
所以的概率分布为
0 | 20 | 40 | |||
19.如图,在三棱柱中,,,平面平面,.
(1)求证:;
(2)若四棱锥的体积为,求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据面面垂直的性质定理可得答案;
(2)由求出,以为坐标原点,,,分别为,,的正向建立空间直角坐标系,求出平面、平面的法向量,由二面角的向量求法可得答案.
【详解】(1),,
又平面平面,平面平面,平面,
平面,又平面,;
(2)由
,,
以为坐标原点,,,分别为,,的正向建立空间直角坐标系,
则各点坐标如下:,,,,
取平面的法向量为,设平面的法向量为,
取,,
则,可得,令,可得,
设二面角的大小为,则,
所以二面角的正弦值为.
20.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,已知该疾病的患病率为,经过大量调查,得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值,将该指标大于的人判定为阳性,小于或等于的人判定为阴性.将患病者判定为阴性或将未患病者判定为阳性均为误诊.假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当临界值时,已知某人是患病者,求该人被误诊的概率;
(2)当时,求利用该指标作为检测标准的误诊率的解析式,并求使最小的临界值.
【答案】(1)
(2),
【分析】(1)根据题意矩形面积即可解出;
(2)根据题意确定分段点100,即可得出f(c)的解析式,再根据分段函数的最值求法即可解出.
【详解】(1)患病者被误诊即被判定为阴性的概率为:.
(2)当时,
,
当时,
,
在单调递减,所以时,最小.
21.已知椭圆的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,分别为椭圆的上顶点和右焦点,直线与椭圆交于点,,到直线,的距离分别为和,求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由椭圆几何性质和点在曲线上可解;
(2)联立方程组,再由点到直线的距离公式可证.
【详解】(1)由题知解得,,
故椭圆的方程为.
(2),,
设点,,直线,的斜率分别为,,
则,
,,或
,
直线,的方程分别为,,
所以,
即.
22.(1)求证:当时,;
(2)若关于的方程在内有解,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)对函数求导后,再构造函数,求导后在上为增函数,再由,得在上为增函数,从而可证得结论;
(2)先证得,则令,原问题等价于在内有零点,由(1)可知当时,函数没有零点,当时,连续两次求导结合零点存在性定理求出的单调区间,再判断函数的零点,从而可求得结果.
【详解】(1)证明:令,则,
令,则,
因为,所以,即在上为增函数,
所以,故在上为增函数,
所以,即成立.
(2)解:设,由于,则,
所以在上为增函数,所以,即.
方程等价于.
令,原问题等价于在内有零点,
由,得.
由(1)知当时,,
此时,当时,函数没有零点,不合题意,故舍去.
当时,因为,所以,
令,则.
当时,恒成立,所以单调递增.
当时,令,则.
因为,,所以,所以单调递增.
又,,
因此在上存在唯一的零点,且.
当时,,所以单调递减;
当时,,所以单调递增.
又,,,
因此在上存在唯一的零点,且.
当时,,所以单调递减;
当时,,所以单调递增.
又,,
由(1)知,所以,
所以在上没有零点,在上存在唯一零点,因此在上有唯一零点.
综上,的取值范围是.
【点睛】关键点点睛:此题考查导数的综合应用,考查利用导数证明不等式,考查利用导数解决函数零点问题,第(2)问解题有关键是对方程化简变形后构造函数,将原问题转化为在内有零点,然后利用导数和零点存在性定理求解,考查数学转化思想和计算能力,属于难题.
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