2021-2022学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，，则(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知平面向量，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知等差数列的前项和为，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知直线：与：互相垂直，则(    )

A.  B.  C.  D. 或

7. 若，，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 对于非零向量，，，给出下列结论：
   若，，则；
   若，则；
   ；
   ．
   其中正确结论的有(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在中，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 算法统宗是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．意为：斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传．据此，前五个孩子共分得的棉花斤数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在等腰直角中，斜边为，，为上的动点，且，则取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知数列满足若对任意，且恒成立，则的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若实数，满足则的最大值为______．
14. 已知向量，满足，，令，的夹角为，则______．
15. 已知正实数，满足，则最小值为______．
16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，通常是一个粗糙或零碎的几何形状，并可以分成数个部分，且每一部分都至少近似地是整体缩小后的形状，即具有自相似的特征．如图，有一列曲线，，，，，且是边长为的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉记曲线的周长依次为，，，，，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    求解下面两个小题：
    直线经过点，且在轴上的截距为，求的方程；
    直线平行于直线：，且与距离为，求的方程．
18. 本小题分
    在中，角，，的对边分别为，，，且．
    求角的大小；
    若，求．
19. 本小题分
    已知直线，互相垂直，且相交于点．
    若的斜率为，与的交点为，点在线段上运动，求的取值范围；
    若，分别与轴相交于点，，求的最小值．
20. 本小题分
    已知正实数，，成等差数列，且，问是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，？若这样的三角形存在，判断的形状；若这样的三角形不存在，说明理由．
21. 本小题分
    给出以下条件：
    ，，成等比数列；，，成等比数列；从中任选一个条件，补充在题目中的横线上，再解答．
    已知单调递增的等差数列的前项和为，且，______．
    求数列的通项公式；
    若是以为首项，为公比的等比数列，求数列的前项的和．
    注：如果选择多个条件分别解答，按第一个作答情况统计分．
22. 本小题分
    已知数列的前项和为，且，，．
    求证：数列是等比数列；
    求数列的通项公式；
    若，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：直线，即，
故直线的斜率是，
故倾斜角是：，
故选：．
求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．
本题考查了求直线的倾斜角问题，是一道基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，故A错误；
当时，，故错误；
由，可得，故C正确；
当时，，故D错误．
故选：．
利用不等式的性质可判断，利用特殊值可判断，根据指数函数的性质可判断．
本题考查不等式的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：平面向量，，，
，解得，
故选：．
由题意，利用两个向量共线的性质，求得的值．
本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：等差数列的前项和为，且，，
则，
故选：．
由题意，利用等差数列的性质、前项和公式，计算求得结果．
本题主要考查等差数列的性质、前项和公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，即可解出．
本题考查了三角函数求值，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据直线：与：互相垂直，
则，解得．
故选：．
根据题意，由直线垂直可得关于的方程，再求出即可．
本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
或，
解得，
实数的取值范围是．
故选：．
利用一元二次不等式的性质、解法直接求解．
本题考查一元二次不等式的性质、解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于非零向量，，，
若，，则正确；
若，则，，，则，，，则不一定成立，故错误；
，故错误；
故正确，
故选：．
根据向量数量积的公式和性质分别进行判断即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据平面向量的定义和性质以及数量积的应用分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式，求出的三角函数值，求出的大小，然后求出的值即可．
本题考查两角和的正切函数，考查计算能力，公式的灵活应用，注意三角形的内角和是．
【解答】解：由可得

因为，，是三角形内角，所以，所以
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列，
由题设知：公差，
则由题意可得，解得，
故前五个孩子共分得的棉花斤数为，
故选：．
设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列，由题设求得其首项与公差，即可求得结果．
本题主要考查等差数列在实际问题中的应用及等差数列基本量的计算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，

设，则，所以．
，
所以，
所以时，取最小值或时，取最大值，
故选：．
建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，求出的范围，计算，由二次函数性质得范围．
本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，由，得，
两式相除得也适合，
所以，
因为对任意，且恒成立，
所以，
所以，
当时，由，得，则，
当时，由，得，则，
综上，，
故选：．
由，得，两式相除可求出，从而可求得，所以将问题转化为，从而可求出的取值范围．
本题考查了数列与不等式的综合，考查数列的递推关系以及等比数列求和计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最大值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：．
首先求出的坐标，再根据夹角公式计算可得．
本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：正数，满足，
，
当且仅当，即，时“”成立，
故答案为：．
利用基本不等式的性质直接求解即可．
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，第一个图形的边长为，
第二个图形的边长为第一个图形的边长的，
第三个图形的有边长为第二个图形的边长的，

各个图形的边长构成首项为，公比为的等比数列，
第个图形的边长为，
由图知各个图形的边数构成首项为，公比为的等比数列，
第个图形的边数为，
第个图形有周长为，
，
令，
则

．
故答案为：．
根据题意，行分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律，能求出第个图形的周长，从而能求出周长和．
本题考查简单的归纳推理、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

17.【答案】解：在轴上的截距为，则直线过点，
又直线经过点，所以直线的斜率为，
故直线的方程为，变形可得，
故直线的方程为．
根据题意，由直线平行于直线，
可设直线的方程为，
因为与距离为，所以，解得或．
故直线的方程为或． 

【解析】根据题意，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程可得答案；
根据题意，设直线的方程为，由与距离为，可得关于的方程，再求出即可．
本题考查直线方程的求法，涉及直线的截距式方程以及平行线间的距离，属于基础题．
 

18.【答案】解：由已知，根据正弦定理可得：
，即，
则有，由于，所以；
将代入，得，得，
因为，所以，则，
所以根据正弦定理，得． 

【解析】利用正弦定理已经余弦定理化简即可求解；利用已知以及余弦定理化简可得，再利用正弦定理即可求解．
本题考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：根据题意，直线，互相垂直，且的斜率为，则的斜率为，
则的方程为，令，得，
代数式表示点与连线的斜率，
又，，
所以的取值范围是；
由题可知，直线，的斜率均存在，且不为，
设的斜率为，则的斜率为，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
则，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为． 

【解析】根据题意，求出的斜率，即可得的方程，由此可得的坐标，分析的几何意义，结合直线斜率的计算公式可得答案；
根据题意，设的斜率为，用表示，结合基本不等式求出最小值即可．
本题考查直线方程的求法，涉及基本不等式的性质，属于中档题．
 

20.【答案】解：若为正实数，，成等差数列，可得，
又，
若存在，，可得，
因为为三角形内角，可得，或舍去，
所以由余弦定理可得，可得，可得，
由，可得，解得，可得，
所以为等边三角形． 

【解析】由已知利用等差数列的性质可得，又，利用三角形的面积公式可求，可求，由余弦定理可得的值，联立方程可求，进而可求的值，即可得解．
本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：设递增等差数列的公差为，
若选择条件，由，，，
有，化简得．
解得或舍去，所以数列的通项公式为．
若选择条件，由，，，
有，化简得
解得或舍去
所以数列的通项公式为．
若选条件，由，有，
两式相减得：，因为，，
所以，故，所以，即，
所以数列的通项公式为．
由是以为首项，为公比的等比数列，所以，
由知，所以，
所以，
两边同乘以得：，
以上两式相减得：，即，
所以． 

【解析】选条件时，直接利用等差数列的性质求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式；
选条件时，利用等差数列的性质求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式；
选条件时，直接利用数列的递推关系式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式；
利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：证明：由，得，
则，又，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列．
由得，，
则时，．
当时，满足上式，
所以，数列的通项公式为．
由可知，数列为首项为，公比为的等比数列，则，
由即恒成立．
令，则，
则时，，即数列递增；当时，，即数列递减，
又，，则的最大值，
所以，实数的取值范围是． 

【解析】把已知递推关系式整理即可得到结论，
结合以及累加法即可求解结论，
根据等比数列的求和公式以及数列单调性的应用即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力以及逻辑推理能力，属于中档题目