2021-2022学年四川省自贡市高一（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年四川省自贡市高一（下）期末数学试卷（文科）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的内角，，的对边分别为，，若，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若直线与直线平行，则(    )

A. 或 B.  C. 或 D.

3. 若变量，满足约束条件，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，不共线，若与共线，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 直线的倾斜角为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，点，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 对任意实数，，，，命题：
   若，，则；
   若，则；
   若，则；
   若，，则．
   其中真命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来米长的围栏，准备围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、三角形、弓形这三种方案，最佳方案是(    )

A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案

9. 如果数列满足，当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论成立的是(    )

A. 该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列
B. 该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列
C. 该数列的奇数项各项分别加后构成等比数列
D. 该数列的偶数项各项分别加后构成等比数列

10. 直角中，，，为的外心，(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的(    )

A. 最大值是，最小值是 B. 最大值是，最小值是
C. 最大值是，最小值是 D. 最大值是，最小值是

12. 若、是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，则的最大值是______．
14. 已知，且与垂直，则的值为______ ．
15. 若等比数列的前项和为，且，则______．
16. 钝角三角形的面积是，，，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在平面直角坐标系中，直线过点．
    若直线的倾斜角为，求直线的方程；
    直线：，若直线与直线关于直线对称，求的值与直线的方程．
18. 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前项和公式．
19. 已知函数．
    求不等式的解集；
    若对一切，均有成立，求实数的取值范围．
20. 如图，在矩形中，点是边上的中点，点在边上．
    若点是上靠近的三等分点，设，求的值；
    若，，求的取值范围．

21. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，的平分线与边交于点，且．
    证明：．
    若，求的面积．

22. 已知数列的前项和，数列的前项和满足．
    求数列，的通项公式；
    若，设数列的前项和；若且对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
由题意和正弦定理求出，由内角的范围和条件求出，由内角和定理求出，利用边角关系求出．
本题考查正弦定理，以及内角和定理，注意内角和的范围，属于基础题．
【解析】
解：，，，
由正弦定理得，，
则，
，，
，
即，，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：当时，两直线分别为，，此时两直线垂直，不平行，不合题意，
当时，因为直线与直线平行，
所以，解得，
综上，，
故选：．
分和两种情况求解，根据两直线平行时的斜率关系即可求出的值．
本题主要考查了两直线平行的斜率关系，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：作出变量，满足约束条件表示的平面区域，
得到如图的及其内部，其中，，
设，将直线：进行平移，
当经过点时，目标函数的截距取得最小值，此时达到最大值
．
故选：．
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，取得最大值．
本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
利用平面向量共线定理分析求解即可．

【解答】

解：因为与共线，
则存在唯一的实数，使得，
所以，解得．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：因为直线的斜率，倾斜角为，所以，
所以．
故选：．
首先得到直线的斜率，从而得到，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，直线的斜率的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由已知得，，
则，，
又，则，故，
故选：．
利用向量平行的坐标计算即可．
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，若，，则，错，
对于，若，则，错，
对于，若，则，由不等式的基本性质可得，对，
对于，若，，则，则，对，
故选：．
取判断，取判断，利用不等式的基本性质判断，判断，的正负判断．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：方案：设米，则米，

则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为；
方案：依题意，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
即当且仅当，时取等号；

方案：若弓形为半圆，则半圆的半径为米，
此时菜园最大面积．
故选：．
画出图形，结合二次函数及基本不等式判断方案、；利用半圆面积判断方案．
本题考查了二次函数的最值、三角形的面积公式及基本不等式的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

按照题意可得数列为， ，， ，，，，，，，，所以该数列的偶数项各项分别加后为，，，，，，即可得出结论．
本题主要考查数列的递推关系式的应用以及计算能力．

【解答】

解：按照题意可得数列为， ，，，，，，，，，，
所以该数列的偶数项各项分别加后为，，，，，，构成等比数列，
D正确，
而奇数项为，，，，，均错误，
故选：

10.【答案】 

【解析】解：直角中，，，为的外心，
线段是外接圆的直径，
且，
又，
，
故答案选：．
根据已知得到且数量积运算公式可解、
本题考查了平面向量的数量积，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轨迹方程的求法，圆的参数方程的应用，考查两点间距离公式，向量垂直的性质，正弦函数图像与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
设，，，由条件，可得，又，可得的轨迹方程为，运用圆的参数方程，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最值．
【解答】
解：设，，，
则由，可得，
，
即为，
又，
即有，
即有的轨迹方程为，
设，，，
则
，
令，，
则
，
因为两点都在运动，，即这两条直角边都是固定的，
因此是两点的运动带动了的运动，的轨迹是线段．
当时，取得最大值，即有最大为，
当时，取得最小值，即有最小为．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列关于，的方程组，求得，后得答案．

【解答】

解：由题意可得：，，
，，
可得，，
又，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得或，
解得：；解得：，
，，
则．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
化为，当且仅当时取等号．
的最大值是．
故答案为：．
利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，．
因为与垂直，
所以，解得．
故答案为．
根据题意可得：，，因为两个向量垂直，所以进而利用向量的坐标运算求出的值．
解决此类问题的关键是熟练掌握向量的坐标运算，以及利用向量的数量积解决向量垂直问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，
，，
，
，
故，
故答案为：．
设等比数列的公比为，可判断，利用前项和公式可得，从而解得，进而求．
本题考查了等比数列的前项和公式及应用，考查计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为钝角三角形的面积是，，，
，可得，
当为钝角时，，利用余弦定理得：，即．
当为锐角时，，利用余弦定理得：，即，此时，即为直角三角形，不合题意，舍去．
故答案为：．
由已知利用三角形面积公式可求，进而利用同角三角函数基本关系式可求，利用余弦定理即可得解的值．
本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
因为直线过点，
所以直线的方程为，即；
因为在对称轴上，
所以点也在直线：上，
所以，得，
所以直线为，过原点，
则关于直线的对称点为，
所以点在直线上，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即． 

【解析】先求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程，
由题意可知点在直线上，则点也在直线，代入直线方程可求出的值，再求出直线与坐标轴的交点，求出关于直线的对称点，则此点在直线上，从而可求出直线的方程
本题考查直线与圆，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解设等差数列的公差为
因为，，，成等比数列所以
即解得或舍
所以 
知，，所以
当时，数列的前项和
当时，令，则．
所以
故为等比数列，所以的前项和．
因此，数列的前项和
 

【解析】设等差数列的公差为，利用，，成等比数列．列方程解出，可求的通项公式．
令判断出为等比数列，利用等比数列求和公式计算，注意公比是否为．
本题考查等差数列、等比数列的判断、通项公式，求和运算，考查计算、分类讨论的思想方法和能力．
 

19.【答案】解：，
，
不等式，解得：，
解集为，
可以转化为，
，
，
由基本不等式得：，
当且仅当时，取等号． 

【解析】对进行配方运算，由此得到小于的解集．
将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式，得到的取值范围．
本题考查二次函数配方运算，将不等式转化为恒成立问题，分离参数，以及基本不等式．
 

20.【答案】解：由题意知，
因为是边的中点，点是上靠近的三等分点，
所以，
在矩形中，，，
所以，
即，，
则．
以、分别为、轴建立平面直角坐标系，如图所示：

设，其中；
则：，；，；
所以，其中；
当时取得最小值为，
或时取得最大值为，
所以的取值范围是． 

【解析】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
由题意用、表示出，求出、的值，求和即可．
建立平面直角坐标系，用坐标表示、，计算的取值范围即可．
 

21.【答案】解：证明：由题意得，，
则，
．
在中由余弦定理可得：
．
即．
又，．
解得：．
． 

【解析】由，列式即可证明；
根据种，结合余弦定理求得的值，再利用三角形面积公式求解即可．
本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意，当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，，
当时，，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
由，知，
则，
故，
，
两式相减，
可得

，
，
构造数列，则，
，
数列是单调递增数列，
数列的最小项，
由题意，要使且对一切正整数恒成立，
则使得且对一切正整数恒成立即可，
即，
，
，
当时，，解得，
当时，，解得，
实数的取值范围为． 

【解析】根据题干已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式，对于数列：先计算出的值，当时，由，可得，两式相减并进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果得到的表达式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法计算出前项和的表达式，构造数列并分析单调性，得到数列的最小值，代入不等式，并根据对数的性质推导出实数的取值范围．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，整体思想，错位相减法，不等式的运算能力，对数的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．