重难点09 五种空间向量与立体几何数学思想（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

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重难点09五种空间向量与立体几何数学思想（核心考点讲与练）题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在长方体中，，，若线段上存在一点，使得，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面，，，且为的中点，于，当变化时，则三棱锥体积的最大值是（       ）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（       ）A． B．3 C． D．4．（2019·全国·高三阶段练习（理））已知四棱锥，底面为正方形，且四棱锥的体积为，若其各个顶点都在球表面上，则球表面积的最小值为（       ）A． B．        C．       D．二、填空题5．（2022·浙江·高三学业考试）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足则的最小值为___________.6．（2021·四川省泸县第二中学高三阶段练习（理））如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，.设，，给出以下四个结论：①平面平面； ②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形的周长，是单调函数；④四棱锥的体积在上先减后增.其中正确命题的序号是__________．7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在矩形中，，，点为的中点，将△沿翻折到△的位置，在翻折过程中，不在平面内时，记二面角的平面角为，则当最大时，的值为______．8．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．9．（2020·全国·高三（文））在棱长为1的正方体中，点分别为线段、的中点，则点到平面的距离为______.题型二：数形结合思想一、单选题1．（2022·安徽·模拟预测（文））在矩形ABCD中，，M是AD边上一点，将矩形ABCD沿BM折叠，使平面与平面互相垂直，则折叠后A，C两点之间距离的最小值是（       ）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习），是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为（       ）①若，，则与所成的角等于与所成的角；②若 ，，，则与是异面直线；③若 ，，，则；④若，，，则．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·青海西宁·高三期末（文））我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为（       ）A． B． C． D． 二、多选题4．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示.其中，，，M是BB1上的点，则（       ）A．AM与A1C1是异面直线 B．C．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D．的最小值是5．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（       ）A．当时，存在点P满足B．当时，存在唯一的点P满足C．当时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为D．当时，满足的点P轨迹长度为6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（       ）A．若P为正方体表面上一点，则满足的面积为的点有12个B．动点F的轨迹是一条线段C．三棱锥的体积是随点F的运动而变化的D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为三、填空题7．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是___________.8．（2022·广西·高三阶段练习（文））在四棱锥中，平面，底面四边形为矩形．请在下面给出的4个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在边上存在点，使得为钝角三角形”的充分条件______.①，②，③，④.（写出符合题意的一组即可）9．（2022·湖南·临澧县第一中学二模）已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________. 10．（2022·北京四中高三开学考试）正方体棱长为3，对角线上一点P（异于A，两点）作正方体的截面，且满足，有下列命题：①截面多边形只可能是三角形或六边形；②截面多边形只可能是正多边形；③截面多边形的周长L为定值；④设，截面多边形的面积为S，则函数是常数函数．其中所有正确命题的序号是______．11．（2022·北京·北大附中高三开学考试）在棱长为1的正方体中，E为侧面的中心，F在棱AD上运动.若点P是平面与正方体的底面ABCD的公共点，则所有满足条件的点P构成图形的面积为___________.12．（2021·河北邯郸·高三期末）已知为正方体表面上的一个动点，，是棱延长线上的一点，且，若，则动点运动轨迹的长为___________.题型三：分类与整合思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体棱长为是棱上一点，点在棱上运动，使得对任意的点，直线与正方体的所有棱所成的角都大于，则的取值范围为（       ）A． B．C． D．2．（2022·上海·高三专题练习）如果点是两条异面直线、外一点，则过点且与、都平行的平面个数的所有可能值是（       ）A．1 B．2 C．0或1 D．无数3．（2021·全国·高三专题练习）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（       ）A．1       B．4         C．7 D．84．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为.若，则此四棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）直线AB与直二面角的两个面分别交于A，B两点，且A，B都不在棱l上，设直线AB与所成的角分别为和，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．6．（2020·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））在正方体中，、分别在和上（异于端点），则过三点、、的平面被正方体截得的图形不可能是（       ）A．正方形 B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形 D．梯形二、填空题7．（2021·全国·模拟预测（理））如图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为_______平方米．   三、解答题8．（2021·全国·高三专题练习）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，且，，，侧棱与底面成60°，求它的体积.        题型四：转化与划归思想一、单选题1．（2022·四川泸州·三模（理））已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（       ）A．6π B．30πC． D．2．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为（       ）A． B． C． D．3．（2022·广西·高三阶段练习（理））如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱平面ABCD，且，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段上的一个动点（不含端点），过P、E、F的平面记为，Q在上且，则下列说法正确的个数是（       ）．①三棱锥的体积是定值；②当直线时，；③当时，平面截棱柱所得多边形的周长为；④存在平面，使得点到平面距离是A到平面距离的两倍．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有棱长为1．是底面内部一个动点（包括边界），且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为则下列正确的是（       ）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线平面，直线平面，F是棱BC上一动点，现有下列三个结论：①若分别为棱的中点，则直线平面；②在棱BC上存在点F，使平面；③当F为棱BC的中点时，平面平面.其中所有正确结论的编号是（       ）A．③ B．①③ C．①② D．②③  二、多选题6．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（       ）A．直线AD与平面DEF所成的角为B．经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为C．异面直线AD与CF所成角的余弦值为D．球上的点到底面DEF的最大距离为三、填空题7．（2022·全国·高三专题练习）已知为正方体表面上的一动点，且满足，则动点运动轨迹的周长为__________.8．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.题型五：特殊与一般思想一、单选题1．（2021·江西·三模（理））设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面  2．（2021·浙江·模拟预测）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且直线，直线，下列命题为真命题的是A．“”是“”的充分条件B．“”是“”的既不充分又不必要条件C．“”是“”的充要条件D．“”是“”的必要条件3．（2020·四川省遂宁市第二中学校模拟预测（理））已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（       ）A． B． C． D．4．（2020·重庆八中高三阶段练习（理））已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是A．若与所成的角等于与所成的角，则B．若与所成的角等于与所成的角，则C．若，，则与所成的角等于与所成的角D．若，则与所成的角不可能等于与所成的角5．（2020·河北·石家庄二中模拟预测（理））过正方体的顶点作平面，使每条棱在平面的正投影的长度都相等，则这样的平面可以作（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（       ）.A． B． C． D．二、填空题7．（2022·陕西·二模（理））在内接于球的四面体中，有，，，若球的最大截面的面积是，则的值为______．8．（2021·全国·高三专题练习（文））已知四边形是等腰梯形，，，，，梯形的四个顶点在半径为的球面上，若是球面上任意一点，则点到平面的距离的最大值为____________．