重难点02五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

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重难点02五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·广西柳州·三模（理））若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（       ）A． B．1 C． D．2．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知实数， 函数， 满足， 则的最大值为（       ）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（       ）A．y=﹣2x B．y=x﹣6 C．y= D．y=x2﹣3x+4三、双空题4．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边上分别取点E，F，G，且满足，在△内建造喷泉瀑布，在△内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道作为观光路线（不考虑宽度），则当______时，栈道最短，此时_______．    四、解答题5．（2021·全国·模拟预测）．（Ⅰ）若函数在定义域内有两个极值点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有三个不相同的零点，求证：．     6．（2021·河南平顶山·高三阶段练习（理））已知函数在处的切线与直线平行（1）求实数的值，并求的极值；（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.    7．（2022·全国·高三专题练习）某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据：，   题型二：数形结合思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（       ）A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点2．（2021·河南·西南大学附中高三期中（文））已知函数，若存在实数当时，满足则的取值范围为（       ）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）如图，函数的图象上任取一点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，则的取值（       ）A．与有关，且存在最大值 B．与有关，且存在最小值C．与有关，但无最值 D．与无关，为定值二、多选题4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的有（       ）A．函数是周期函数 B．函数有唯一零点C．函数有无数个极值点 D．函数在上不是单调函数三、双空题5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，则方程的根为________．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是________．6．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数则函数的最小值为________；若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是________．四、填空题7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数，，若关于x的方程在区间上恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______.题型三：分类与整合思想一、多选题1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，其中常数，，则下列说法正确的有（       ）A．函数的定义域为B．当，时，函数有两个极值点C．不存在实数和m，使得函数恰好只有一个极值点D．若，则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件      二、解答题2．（2022·四川南充·三模（理））已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，，若，求证：对于任意，函数有唯一零点．     3．（2022·云南·二模（文））已知e是自然对数的底数，，常数a是实数.(1)设，求曲线在点处的切线方程；(2)，都有，求a的取值范围.    4．（2022·湖南师大附中二模）已知函数.(1)若，比较与的大小；(2)讨论函数的零点个数.       5．（2022·河北唐山·二模）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l．(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由．   6．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.   7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；(2)讨论函数在区间上的零点个数．【答案】(1)(2)当或时，在上无零点；当或时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点．     题型四：转化与划归思想一、单选题1．（2022·广西南宁·二模（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（       ）．A．7 B．9 C．11 D．122．（2022·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（       ）A． B． C． D．3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（       ）A． B． C． D．二、多选题4．（2022·广东广州·二模）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（       ）A．B．C．D．5．（2022·江苏·高三阶段练习）若正整数只有1为公约数，则称互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（     ）A．数列为等比数列 B．数列单调递增C． D．数列的前项和为，则.三、填空题6．（2022·全国·高三专题练习）已知，则__________．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值集合是_________．四、解答题8．（2022·山西晋中·模拟预测（理））已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若为函数的极大值点，求实数的取值范围.    9．（2022·江西·临川一中高三期中（文））设m为实数，函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若方程有两个实数根，证明：.（注：是自然对数的底数）         10．（2022·广东·高三阶段练习）若，且直线与曲线相切.(1)求的值；(2)证明：当，不等式对于恒成立.     题型五：特殊与一般思想一、单选题1．（2020·全国·高三专题练习（文））若曲线在处的切线也是的切线，则（       ）A．-1 B．-2C．2 D．2．（2020·全国·高三专题练习）已知，则下列结论中错误的是A．，，B．，，C．，，D．，，3．（2020·全国·高三专题练习（理））已知函数，其导函数记为，则的值为（       ）A．2 B．1 C．0 D．−2二、填空题4．（2020·全国·高三专题练习）有如下结论：若无穷等比数列的公比满足，则它的各项和．已知函数，则的图象与轴围成的所有图形的面积之和为__．