2021-2022学年湖北省武汉市新高考联合体高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市新高考联合体高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年湖北省武汉市新高考联合体高一（下）期末数学试卷  一、单选题（本题共8小题，共40分）向量，且，则实数(    )A.  B.  C.  D. 已知是虚数单位，复数，，则复数在复平面内表示的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则(    )
A.  B.
C.  D. 下列各组几何体中是多面体的一组是(    )A. 三棱柱、四棱台、球、圆锥 B. 三棱柱、四棱台、正方体、圆台
C. 三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥 D. 圆锥、圆台、球、半球在中，已知为上一点，且满足，则(    )A.  B.  C.  D. 已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中正确的是(    )A. 若，，则
B. 若，，则且
C. 若，，，则
D. 若，，则在中，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本题共4小题，共20分） 一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是(    )A. 三棱锥 B. 四棱台 C. 六棱锥 D. 六面体一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则(    )
 A. 点第一次到达最高点需要秒
B. 当水轮转动秒时，点距离水面米
C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米
D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是(    )A.
B. 若，则
C. 若，则是直角三角形
D. 若，，三角形面积，则三角形的外接圆半径为正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则(    )A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点与点到平面的距离相等
三、填空题（本题共3小题，共15分） ______．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西方向上，另一灯塔在南偏西方向上，则该船的速度是______海里小时．已知圆锥的底面半径为，侧面积是，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最大值是______．四、解答题（本题共7小题，共75分）如图，在三棱柱中，、、分别是，，的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求：．
已知向量与的夹角为，，．
Ⅰ若；
Ⅱ若，求实数的值．观察以下等式：

对进行化简求值，并猜想出式子的值；
根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．已知正三棱柱中，，是的中点．
求证：平面；
点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
在中，已知，且，试判断的形状．如图，是半球的直径，为球心，，，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且．
证明：平面平面；
若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．
锐角的三个内角是，，，满足．
求角的大小及角的取值范围；
若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：向量，且，
，
解得实数．
故选：．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为，，
则复数，
其对应的点在第三象限．
故选：．
直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：建立如图直角坐标系，则，，，
设，
则，
得，，
故，
故选：．
建立如图直角坐标系，则，，，设，联立解方程组，求出，得出结论．
考查向量的混合运算，向量的坐标运算，中档题．
 4.【答案】 【解析】解：对于，由于球、圆锥是旋转体，不是多面体，故A不正确；
对于，由于圆台是旋转体，不是多面体，故B不正确；
对于，三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥，它们的各个面都是平面多边形，
所以的各个几何体都是多面体，项正确；
对于，圆锥、圆台、球、半球都是旋转体，项中没有多面体，故D不正确
故选：．
根据多面体、旋转体的定义，对、、、各项逐个加以判断，可得、、三项中都有旋转体存在，而项的四个几何体都是多面体，由此可得项符合题意．
本题给出几组几何体，叫我们找出全为多面体的一组．着重考查了多面体、旋转体的定义的知识，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：在中，，
所以．
故选：．
由向量的线性运算直接求解即可．
本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：对于选项A：若，，则，可能相交、平行或异面，故选项 A不正确；
对于选项B：若，，则，，或，故选项B不正确；
对于选项C：若，，，则，可能相交、平行或异面，故选项 C不正确；
对于选项D：若，，则，故选项D正确．
故选：．
利用线线、线面、面面之间的位置关系逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项．
本题考查了线线、线面、面面之间的位置关系，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：因为在中，，
所以由余弦定理，可得，整理可得，
解得或舍去．
故选：．
由已知利用余弦定理即可求解的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：函数在区间上单调递减，
令：，
整理得；
函数在区间上单调递减，
故；
故；
整理得：．
故的取值范围是．
故选：．
直接利用正弦型函数的性质函数的单调性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】【分析】本题考查多面体的结构特征的判断，是基础题．
利用特例判断选项的正误即可．【解答】解：一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意所以可能．
由棱台的结构特征，不可能．
正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以不可能．
六面体是正方体时，满足题意，所以有可能．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：设点距离水面的高度米和时间秒的函数解析式为，
由题意得：，解得：，
，故D错误；
对于，令，代入，即，即，解得：，故A正确；
对于，令，代入，解得：，故B错误；
对于，令，代入，解得：，故C正确．
故选：．
设点距离水面的高度米和时间秒的函数解析式为，根据题意，求出，，，的值，对照四个选项一一验证即可．
本题考查三角函数模型的简单应用，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：中，
对于：，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，由正弦定理得：，
即，而，故A，
所以一定为直角三角形，故C正确；
对于：在中，若，，三角形面积，所以，解得，
所以，所以，则，，故D错误；
故选：．
，根据诱导公式及三角形的特点可判断的正误；
，根据三角形的边角关系可判断；
，根据正弦定理、两角和与差的正弦公式可判断的正误；
：直接利用正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用判断的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：取 中点，则为在平面上的射影，
与 不垂直，与不垂直，故A错；
取中点，连接，，可得平面平面，故B正确；
把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故C正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，
连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错．
故选：．
取 中点，则为在平面上的射影，由与 不垂直，可得与不垂直；取中点，连接，，得平面平面，再由面面平行的性质判断；把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积判断；利用反证法证明D错误．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 14.【答案】解：、、分别是，，的中点，
，且到底面的距离为三棱柱高的，
设棱柱底面积为，高为，
则，，
则：：． 【解析】由题意可得，，且到底面的距离为三棱柱高的，分别求出棱锥与棱柱的体积，作比得答案．
本题考查棱柱与棱锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：如图所示：
船的初始位置为，半小时后行驶到，两个港口分别位于，，
所以，，则，
设，得到，在中，，
所以利用正弦定理，解得，
所以船速为．
故答案为：．
由题意，设，得到，然后在中，利用正弦定理求解．
本题考查正弦定理的实际应用，考查运算求解能力，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球，
设圆锥的母线长为，底面半径为，则所以，
如图圆锥轴截面为等边三角形，其内切圆是该圆锥的内切球大圆截面，

的高，则内切圆的半径即球半径，
于是得球的内接正方体棱长满足：，解得：，
所以的最大值为．
故答案为：．
根据给定条件求出圆锥的内切球半径，再求出此球的内接正方体的棱长即可作答．
作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键．
 17.【答案】解：Ⅰ，
，

；
Ⅱ，

，
解得． 【解析】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
Ⅰ根据条件及进行数量积的运算即可；
Ⅱ根据可得出，然后进行数量积的运算即可．
 18.【答案】解：；
；
；
猜想；
．
三角恒等式为，
证明：

． 【解析】本题考查三角恒等变换，以及根据几个式子的值找出规律，属于中档题．
利用特殊角的三角函数值计算即得；
根据式子的特点可得等式，然后利用差的余弦公式及同角关系式化简运算即得．
 19.【答案】证明：连接交于点，连接，

因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，
故AC平面；
解：因为平面，与平面所成的角为，
因为是边长为的等边三角形，则，
平面，平面，
，则，
所以，，
平面，，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为的中点，则，
则． 【解析】连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
利用线面角的定义可求得的长，分析可知点到平面的距离等于点到平面的距离，可得出，结合锥体的体积公式可求得结果．
本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
 20.【答案】解：将，
整理得：，即，
由余弦定理得：，
为三角形内角，，
，且，
，
，即，
，
，
则为等边三角形． 【解析】第一个等式变形后，利用余弦定理求出的值，进而求出的度数，第二个等式化简，利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到，即可确定出三角形形状．
此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
 21.【答案】解：证明：连接，，如图，，是半圆上的两个三等分点，
则有，

，，都是正三角形，，
四边形是菱形，，
，，、平面，
平面，平面，
平面平面．
由知，平面平面，平面平面，
则点在底面圆内的射影在上，
点在底面圆内的射影在上，
点在底面圆内的射影是与的交点，
，，，
取的中点，连接，，得，，
是二面角的平面角，
在中，，
，
二面角的余弦值是． 【解析】连接，，证明，再利用线面、面面垂直的判定能证明平面平面；
确定点在底面圆内的射影点位置，再作出二面角的平面角，然后解三角形能求出二面角的余弦值．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、射影、二面角、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 22.【答案】解：已知，
由正弦定理可得，
则，
由余弦定理可得，
即，
又为锐角，
即，
又为锐角三角形，
则，则，
即的取值范围为；
由可得与的夹角为，
又，
则，
即的外接圆的半径为，
由正弦定理可得：，，
又，
又，
则，
则
则
即的取值范围为． 【解析】由正弦定理及余弦定理求解即可；
由平面向量数量积的运算及正弦定理，结合三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了正弦定理及余弦定理，属中档题．