【最新版】高中数学高三培优小题练第5练　函数的单调性与最大(小)值

第5练　函数的单调性与最大(小)值

考点一　确定函数的单调性(区间)

1．下列函数中，在[1，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝(x－2)2   B．y＝|x－1|

C．y＝   D．y＝－(x＋1)2

答案　B

解析　对于A，因为y＝(x－2)2在[2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2]上单调递减，故A错；

对于B，因为y＝|x－1|在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，故B对；

对于C，因为y＝在(－1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递减，故C错；

对于D，因为y＝－(x＋1)2在(－1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递增，故D错．

2．函数f(x)＝(6－x－x2)的单调递增区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由题意知f(x)的定义域为.

令t＝－x2－x＋6，

则函数t在上单调递增，在上单调递减．

又y＝x在其定义域上单调递减．

故由复合函数的单调性知原函数的单调递增区间是.

3．已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是(　　)

A．单调递增区间是(0，＋∞) 

B．单调递减区间是(－∞，－1)

C．单调递增区间是(－∞，－1) 

D．单调递增区间是(－1,1)

答案　D

解析　因为函数f(x)＝－x|x|＋2x＝ 作出函数f(x)的图象，如图所示，

由图可知，函数f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(－∞，－1)和.

4．已知函数f(x)＝x＋，下列说法正确的是________．(填序号)

①m＝－1时，f(x)在(－∞，0)上单调递增；

②m＝1时，f(x)在(0,1)上单调递减；

③m<0时，f(x)在定义域上单调递增；

④m>0时，f(x)在(，＋∞)上单调递增．

答案　①②④

解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当m<0时，y＝x与y＝都是增函数，故f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)，故①正确，③错误；

当m＝1时，f(x)＝x＋，作出y＝x＋的图象(图略)，可知f(x)在(0,1)上单调递减，故②正确；

当m>0时，f′(x)＝1－＝，

当x∈(，＋∞)时，x2－m>0，∴f′(x)>0，

∴f(x)在(，＋∞)上单调递增，故④正确．

考点二　函数的最值

5．函数y＝－，x∈[0,2]的值域是(　　)

A.   B．[－2,0)

C．(0,1]   D．[－2，－1]

答案　A

解析　由题意，令t＝x＋1，由于x∈[0,2]，故t∈[1,3]，

故y＝－，由反比例函数的性质，知y＝－在t∈[1,3]上单调递增，

故当t＝1时，ymin＝－2；当t＝3时，ymax＝－，

故函数在x∈[0,2]的值域为.

6．已知函数f(x)＝2x－，x∈[1,5]，则f(x)的最小值是(　　)

A．1   B．8 

C.   D.

答案　C

解析　因为函数f(x)＝2x－，x∈，

设t＝∈，

则x＝t2＋1，

所以g(t)＝2t2－t＋2，t∈，

因为g(t)的图象开口向上，对称轴为t＝，

所以f(x)min＝g＝2×2－＋2＝.

7．已知函数f(x)＝若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是________________．

答案　[3，＋∞)

解析　函数f(x)＝

可得当x>1时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a＝4＋a，当且仅当x＝2时，f(x)取得最小值4＋a，

当x≤1时，f(x)＝2＋12－a2，

若a≥1，f(x)在上单调递减，

可得f(x)≥f(1)＝13－2a，

由于f(x)的最小值为f(1)，所以13－2a≤4＋a，

解得a≥3；

当a<1时，f(x)在x＝a处取得最小值，与题意矛盾．

综上，实数a的取值范围是.

考点三　单调性的应用

8．已知函数f(x)＝，若函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]   B．(2，＋∞)

C．(0,2]   D．(0,2)

答案　C

解析　因为当x>2时，x－m≠0，所以m≤2，

因为f(x)＝＝1＋在上单调递减，

所以m>0，

综上，0<m≤2.

9．若函数f(x)＝ex－e－x＋sin 2x，若a＝f(log23)，b＝，c＝f则a，b，c的大小为(　　)

A．a>b>c   B．a>c>b

C．c>b>a   D．b>a>c

答案　B

解析　因为f′(x)＝ex＋e－x＋2cos 2x≥2＋2cos 2x≥0恒成立，所以f(x)为R上的增函数；

因为log23∈(1，＋∞)，＝－log32∈，2－2＝，

所以<<log23，

所以f>f(2－2)>，

故a>c>b.

10．(2022·北京西城区模拟)已知函数f(x)＝－log2x，则不等式f(x)>0的解集是(　　)

A．(0,1)   B．(－∞，2)

C．(2，＋∞)   D．(0,2)

答案　D

解析　f(x)＝－log2x的定义域为(0，＋∞)，

所以f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减，又f(2)＝－log22＝0，

所以不等式f(x)>0的解集是(0,2)．

11．已知函数f(x)＝对任意x1，x2∈R且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B.

C.   D．(1，＋∞)

答案　B

解析　由题意知，函数f(x)＝

是R上的减函数，

可得即解得≤a<1，

所以实数a的取值范围是.

12．已知f(x)＝min{2－x2，|x|}，下列说法正确的是(　　)

A．f(x)在区间(－∞，0)上单调递增

B．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减

C．f(x)有最小值

D．f(x)没有最大值

答案　B

解析　作出f(x)＝min{2－x2，|x|}的图象，如图中实线部分，

由图可知，f(x)在区间(－∞，－1)，(0,1)上单调递增，在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递减，

故A错误，B正确；f(x)没有最小值，有最大值1，故C，D错误．

13．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“Z函数”，以下函数中是“Z函数”的是(　　)

A．y＝－x2＋1

B．y＝3x－2sin x－2cos x

C．y＝

D．y＝－

答案　B

解析　∵x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，

∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，

∴(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，故“Z函数”在R上单调递增，

对于选项A，y＝－x2＋1在区间上单调递增，在区间上单调递减，故A不正确；

对于选项B，y′＝3－2cos x＋2sin x

＝3＋2sin>0，

∴此函数在R上单调递增，故B正确；

对于选项C，函数y＝在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不正确；

对于选项D，y＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，但在R上不单调递增，故D不正确．

14．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，则g(a)的最大值为________．

答案　1

解析　f(x)＝x＋，

当a>1时，a－>0，

此时f(x)在[0,1]上单调递增，

∴g(a)＝f(0)＝.

当0<a<1时，a－<0，

此时f(x)在[0,1]上单调递减，

∴g(a)＝f(1)＝a.

当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.

∴g(a)＝

∵g(a)在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，

∴当a＝1时，g(a)取得最大值1.