【最新版】高中数学高三培优小题练第26练　高考大题突破练——隐零点问题

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第26练　高考大题突破练——隐零点问题，共4页。试卷主要包含了函数f＝ln x－a.等内容，欢迎下载使用。
考点一 直接法
1．函数f(x)＝(x－1)ln x－a.
(1)若f(x)在x＝1处的切线方程为y＝1，求a的值；
(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝eq \f(xln x＋x－1,x)，
f′(1)＝0，
且f(1)＝－a，
∴切线方程为y－(－a)＝0，即y＝－a，
∴a＝－1.
(2)若f(x)≥0恒成立，即a≤(x－1)ln x恒成立，
令φ(x)＝(x－1)ln x，
∴φ′(x)＝eq \f(xln x＋x－1,x)(x>0)，
观察知φ′(1)＝0且当x∈(0,1)时，xln x0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝0.
故a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．
考点二 虚设零点
2．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝aex－2x，a∈R.
(1)求函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的极值；
(2)当a≥1时，证明：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－ln x＋2x>2.
(1)解 f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝aex－2，
当a≤0时，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))0时，令f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝0得x＝lneq \f(2,a)，
令f′(x)>0得x>lneq \f(2,a)，
令f′(x)0，
∵g′(x)＝ex－eq \f(1,x)(x>0)，令φ(x)＝ex－eq \f(1,x)(x>0)，
则φ′(x)＝ex＋eq \f(1,x2)(x>0)，
则φ′(x)>0，
∴g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上为增函数，
∵g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝e－1>0，g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－20，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－ln x＋2x>2.
3．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xln x.
(1)求曲线y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))))处的切线方程；
(2)若当x>1时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋x>keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))恒成立，求正整数k的最大值．
解 (1)函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))，
f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x＋1，因为f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＝2，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＝e，
所以曲线y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))))处的切线方程为y－e＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－e))，
即2x－y－e＝0.
(2)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋x>keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，得xln x＋x>keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)).
即k1恒成立，
令geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(xln x＋x,x－1)，只需k0，
所以ueq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x－ln x－2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))上单调递增，
因为ueq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝－ln 20，所以g(x)在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，又因为g(0)＝0，所以g(x)在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上无零点；
②当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，
令h(x)＝(sin x＋cs x)ex－1，
所以h′(x)＝2cs x·ex0，h(π)＝－eπ－10，g(π)＝－π