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四川省内江市2022年中考数学试卷解析版
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这是一份四川省内江市2022年中考数学试卷解析版，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省内江市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ 16 C．6 D．16
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】−6的相反数是：6，
故选C.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此判断即可.
2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）
A．34 B．33 C．32.5 D．31
【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：25+33+36+31+405＝33（辆）.
故答案为：B.
【分析】首先求出1～5月新能源汽车的销量总和，然后除以5可得平均数.
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；同类项；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D、x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；根据完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
4．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
5．下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；随机事件；方差
【解析】【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；
B、要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；
C、一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；
D、样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，据此可判断A；根据抽样调查适宜调查过程工作量大，具有破坏性及危害性，对调查结果要求不特别重要或精准等的调查，据此可判断B；方差用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此判断C；样本容量是指样本中个体的数目，据此判断D.
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面.
故答案为：C.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
7．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABM＝∠CMB，根据角平分线的概念可得∠ABM＝∠CBM，则∠CBM＝∠CMB，推出MC＝BC＝8，然后根据DM＝CD-MC进行计算.
8．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b
C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；有理数的加法；不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴1<|a|<2，2<|b|<3
∴|a|<|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵|a|<|b|
∴|a|−|b|<0，
∴D选项的结论不成立.
故答案为：A.
【分析】由数轴可得a<0＜b，且|a|<|b|，进而根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变及不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变即可判断A、B、D；根据有理数的加法法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此可判断C.
9．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【答案】D
【知识点】图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE.
故答案为：D.
【分析】根据△ABC、△OED的位置可得应先绕点C顺时针旋转90°，然后向下平移即可，据此判断.
10．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x和y=kx的图象交于P、Q两点.若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点P（a，b），Q（a，ka），则OM＝a，PM＝b，MQ＝−ka，
∴PQ＝PM+MQ＝b−ka.
∵点P在反比例函数y＝8x的图象上，
∴ab＝8.
∵S△POQ＝15，
∴12PQ•OM＝15，
∴12a（b﹣ka）＝15.
∴ab﹣k＝30.
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22.
故答案为：D.
【分析】设P（a，b），Q（a，ka），则OM＝a，PM＝b，MQ＝−ka，PQ＝PM+MQ＝b-ka，根据点P在反比例函数图象上可得ab＝8，然后结合三角形的面积公式可得k的值.
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，π3 B．33，π C．23，4π3 D．33，2π
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∵OB=OC，
∴ΔBOC为等边三角形，
∴BC=OB=6，
∵OM⊥BC，
∴BM=12BC=3，
∴OM=OB2−BM2=62−32=33
BC的长为=60π×6180=2π.
故答案为：D.
【分析】连接OC、OB，根据正六边形的性质可得∠BOC=60°，结合OB=OC可得△BOC为等边三角形，则BC=OB=6，BM=12BC=3，利用勾股定理求出OM，然后根据弧长公式进行计算.
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣cx1x+c的解集为0＜x＜x1.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确.
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误.
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，
∴2+02<−b2a<2+12，
∴1<−b2a<32，
当−b2a<32时，b>−3a，
当x=2时，y=4a+2b+c=0，
∴b=−2a−12c，
∴−2a−12c>−3a，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：
设y1＝ax2+bx+c，y2=−cx1x+c，
由图知，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据x=1对应的函数值为负可判断②；根据抛物线与x轴的交点坐标结合对称轴方程可得1<−b2a<32，当−b2a<32时，b>-3a，当x=2时，y=4a+2b+c=0，则b=-2a-12c，根据b>-3a可判断③；设y1＝ax2+bx+c，y2=-cx1+c，结合图象可判断④.
二、填空题
13．函数 y=x−3 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【分析】根据二次根式 a 有意义的条件是a≥0，即可求解．
14．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于
【答案】100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
15．对于非零实数a，b，规定a⊕b＝1a−1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 .
【答案】56
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：
12x−1−12＝1，
等式两边同时乘以2(2x−1)得，
2−2x+1=2(2x−1)，
解得：x＝56，
经检验，x＝56是原方程的根，
∴x＝56，
故答案为：56.
【分析】根据定义的新运算可得12x-1-12=1，等式两边同时乘以2(2x-1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，然后进行检验即可.
16．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝ .
【答案】48
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48.
故答案为：48.
【分析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则大正方形的边长为(a+b)，最小正方形的边长为（a-b），根据勾股定理a2+b2＝EF2＝16，由S1＝(a+b)2，S2＝42＝16，S3＝(a-b)2，可得出答案.
17．分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ .
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣运用公式法；十字相乘法因式分解
【解析】【解答】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）.
【分析】首先利用十字相乘法分解可得原式=(a2+1)(a2-4)，然后对后面括号中的式子利用平方差公式分解即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点P(2，3)，且与函数y=2x(x>0)的图象交于点Q(m，n).若一次函数y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
【答案】23
【解析】【解答】解：当PQ平行于x轴时，点Q的坐标为(m，3)，代入y=2x中，可得m=23；
当PQ平行于y轴时，点Q的坐标为(2，n)，可得m=2；
∵一次函数y随x的增大而增大，
∴m的取值范围是23
19．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x2x1+x1x2＝x12+2x2﹣1，则k的值为 .
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵x2x1+x1x2＝x12+2x2﹣1，
∴(x1+x2)2−2x1x2x1x2＝2（x1+x2）﹣k，
∴22−2(k−1)k−1＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得(x1+x2)2−2x1x2x1x2＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
20．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 .
【答案】10
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝AB2+BG2＝62+(4+4)2＝10，
∴AF+CE的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，易得四边形EFGC是平行四边形，则CE＝FG，AF+CE＝AF+FG，故当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，接下来利用勾股定理计算即可.
三、解答题
21．（1）计算：128+|(−12)−1|−2cos45°；
（2）先化简，再求值：（ab2−a2+1b+a）÷bb−a，其中a＝﹣5，b＝5+4.
【答案】（1）解：原式＝12×22+2−2×22
＝2+2﹣2
＝2
（2）解：原式＝[a(b+a)(b−a)+b−a(b+a)(b−a)]•b−ab
＝b(b+a)(b−a)⋅b−ab
＝1b+a.
当a＝﹣5，b＝5+4时，
原式＝15+4−5=14
【知识点】实数的运算；利用分式运算化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及绝对值的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）对括号中的第一个分式的分母进行分解，然后通分，再将除法化为乘法，然后约分即可对原式进行化简，最后将a、b的值代入计算即可.
22．如图，▱ABCD中，E、F是对角线BD上两个点，且满足BE=DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴∠ABF=∠CDE，
在ΔABE和ΔCDF中
∵AB=CD∠ABF=∠CDEBE=DF，
∴ΔABE≌ΔCDF.
（2）证明：由（1）可知，ΔABE≌ΔCDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴ AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，AB=CD，由平行线的性质可得∠ABF=∠CDE，结合BE=DF，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=CF，∠AEB=∠DFC，推出AE//CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明.
23．为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛.数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
【答案】（1）14；0.2
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2.
故答案为：14，0.2；
【分析】（1）用89.5~94.5的频率乘以总人数可得m的值，利用79.5~84.5的频数除以总人数可得n的值；
（2）根据m的值即可补全频数分布直方图；
（3）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的情况数，然后根据概率公式进行计算.
24．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°.
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离.（结果保留根号）
【答案】（1）解：过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝AEED＝xx+60＝33，
∴x＝303+30，
经检验：x＝303+30是原方程的根，
∴AE＝（303+30）米，
∴河的宽度为（303+30）米；
（2）解：过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（303+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝BFtan60°＝303+303＝（30+103）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝303+30﹣（30+103）＝203（米），
∴古树A、B之间的距离为203米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝(x+60)米，根据平角的概念可得∠ACE＝45°，则AE＝x米，利用三角函数的概念可求出x，据此可得AE；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝(303+30)米，AB＝EF，根据邻补角的性质可得∠BCF＝60°，利用三角函数的概念可得CF，然后根据AB＝EF＝CE-CF进行计算.
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝23，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：直线AF与⊙O相切.
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
OA=OC∠AOF=∠COFOF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）解：∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE=CE=12AC，OE⊥AC，
∵∠OAF=90°，OA=6，AF=23，
∴tan∠AOF=AFOA=236=33，
∴∠AOF＝30°，
∴AE=12OA=3，
∴AC=2AE=6；
（3）解：∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP=3OC=63，
∴S△OCP＝12OC⋅CP=12×6×63=183，S扇形AOC=60⋅π×62360=6π，
∴阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形AOC＝183−6π.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCP＝90°，由平行线的性质可得∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B，则∠AOF＝∠COF，证明△AOF≌△COF，得到∠OAF＝∠OCF＝90°，则AF⊥OA，据此证明；
（2）由等腰三角形的性质可得AE=CE=12AC，OE⊥AC，利用三角函数的概念求出tan∠AOF的值，得到∠AOF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE=12OA，据此求解；
（3）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，OC＝6，根据三角函数的概念可得CP，然后根据S阴影=S△OCP-S扇形AOC进行计算.
26．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【答案】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）解：师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）解：设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带可得学生的总数为(30x+7)人；根据每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生可得学生总数为(31x-1)人，然后根据学生数一定列出方程，求解即可；
（2）根据（1）的结果可得师生总数为247+8＝255（人），由题意可得一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8-m)辆，根据租金总费用不超过3000元可得400m+320(8-m)≤3000；根据总人数为255人可得35m+30(8-m)≥255，联立可求出m的范围，结合m为正整数可得m的取值，据此可得租车方案；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8-m)辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，根据甲型客车的辆数×租金+乙型客车的辆数×租金可得w与m的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若EFBF＝2，求ANND的值；
（3）若MN∥BE，求ANND的值.
【答案】（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝12CD，
∵AB＝CD，
∴BM=CE=12AB，
∴AM=BM，
∴AM＝CE
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴BFEF=BMCE=12，
∵CE＝3，
∴BM＝32，
∴AM＝92，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴ANBM=AMBC，
∴AN32=924，
∴AN=2716，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣2716＝3716，
∴ANDN=27163716=2737
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴CEBC=BCBM，
∴34=4BM，
∴BM=163，
∴AM=AB−BM=6−163=23，
由（2）同理得，ANBM=AMBC，
∴AN163=234，
解得：AN＝89，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣89＝289，
∴ANND=89289=27.
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得BF＝EF，根据矩形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质可得∠BMF＝∠ECF，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得到BM＝CE，根据中点的概念可得CE＝12CD，结合AB=CD可得AM=BM，据此证明；
（2）由平行线的性质可得∠BMF＝∠ECF，由对顶角的性质可得∠BFM＝∠EFC，证明△BMF∽△ECF，根据相似三角形的性质可得BM的值，然后求出AM，由同角的余角相等可得∠ANM＝∠BMC，证明△ANM∽△BMC，根据相似三角形的性质可得AN，由DN＝AD-AN可得DN，据此求解；
（3）根据平行线的性质可得∠BFC＝∠CMN，由同角的余角相等可得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，结合三角函数的概念可得BM，由AM=AB-BM可得AM，由（2）可得AN，根据DN=AD-AN可得DN，据此求解.
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）.
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）.
∴16a−4b+c=04a+2b+c=0c=2，
解得：a=−14b=−12c=2，
∴抛物线的解析式为y=−14x2−12x+2
（2）解：过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图.
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则−4k+t=0t=2，
解得：k=12t=2，
∴直线AC的解析式为y=12x+2.
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH=−14m2−12m+2，GH=12m+2
∴DG=−14m2−12m+2−12m−2=−14m2−m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝OAAC=442+22＝255，
∴DEDG=255，
∴DE=255DG=255(−14m2−m)=−510(m2+4m)=−510(m+2)2+255，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值255.
此时yD=−14×(−2)2−12×(−2)+2=2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）解：如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝12EB×(yC−yP)：12AE×(yC−yP)=EB：AE，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或23，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝23x+2，
联立方程组y=−2x+2y=−14x2−12x+2或y=23x+2y=−14x2−12x+2，
解得：x＝6或﹣143（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将A（-4，0）、B（2，0）、C（0，2）代入y＝ax2+bx+c中求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，表示出DH、GH、DG，由等角的余角相等可得∠EDG＝∠CAO，则cos∠EDG=cos∠CAO，结合三角函数的概念可得DE，根据二次函数的性质可得DE的最大值以及对应的点D的坐标；
（3）设直线CP交x轴于点E，由三角形的面积公式结合题意得EB∶AE＝1∶5或5∶1，则AE＝5或1，即E（1，0）或（-3，0），求出直线CP的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标.
四川省内江市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ 16 C．6 D．16
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】−6的相反数是：6，
故选C.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此判断即可.
2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）
A．34 B．33 C．32.5 D．31
【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：25+33+36+31+405＝33（辆）.
故答案为：B.
【分析】首先求出1～5月新能源汽车的销量总和，然后除以5可得平均数.
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；同类项；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D、x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；根据完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
4．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
5．下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；随机事件；方差
【解析】【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；
B、要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；
C、一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；
D、样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，据此可判断A；根据抽样调查适宜调查过程工作量大，具有破坏性及危害性，对调查结果要求不特别重要或精准等的调查，据此可判断B；方差用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此判断C；样本容量是指样本中个体的数目，据此判断D.
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面.
故答案为：C.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
7．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABM＝∠CMB，根据角平分线的概念可得∠ABM＝∠CBM，则∠CBM＝∠CMB，推出MC＝BC＝8，然后根据DM＝CD-MC进行计算.
8．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b
C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；有理数的加法；不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴1<|a|<2，2<|b|<3
∴|a|<|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵|a|<|b|
∴|a|−|b|<0，
∴D选项的结论不成立.
故答案为：A.
【分析】由数轴可得a<0＜b，且|a|<|b|，进而根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变及不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变即可判断A、B、D；根据有理数的加法法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此可判断C.
9．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【答案】D
【知识点】图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE.
故答案为：D.
【分析】根据△ABC、△OED的位置可得应先绕点C顺时针旋转90°，然后向下平移即可，据此判断.
10．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x和y=kx的图象交于P、Q两点.若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点P（a，b），Q（a，ka），则OM＝a，PM＝b，MQ＝−ka，
∴PQ＝PM+MQ＝b−ka.
∵点P在反比例函数y＝8x的图象上，
∴ab＝8.
∵S△POQ＝15，
∴12PQ•OM＝15，
∴12a（b﹣ka）＝15.
∴ab﹣k＝30.
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22.
故答案为：D.
【分析】设P（a，b），Q（a，ka），则OM＝a，PM＝b，MQ＝−ka，PQ＝PM+MQ＝b-ka，根据点P在反比例函数图象上可得ab＝8，然后结合三角形的面积公式可得k的值.
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，π3 B．33，π C．23，4π3 D．33，2π
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∵OB=OC，
∴ΔBOC为等边三角形，
∴BC=OB=6，
∵OM⊥BC，
∴BM=12BC=3，
∴OM=OB2−BM2=62−32=33
BC的长为=60π×6180=2π.
故答案为：D.
【分析】连接OC、OB，根据正六边形的性质可得∠BOC=60°，结合OB=OC可得△BOC为等边三角形，则BC=OB=6，BM=12BC=3，利用勾股定理求出OM，然后根据弧长公式进行计算.
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣cx1x+c的解集为0＜x＜x1.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确.
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误.
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，
∴2+02<−b2a<2+12，
∴1<−b2a<32，
当−b2a<32时，b>−3a，
当x=2时，y=4a+2b+c=0，
∴b=−2a−12c，
∴−2a−12c>−3a，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：
设y1＝ax2+bx+c，y2=−cx1x+c，
由图知，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，确定出a、b、c的符号，据此判断①；根据x=1对应的函数值为负可判断②；根据抛物线与x轴的交点坐标结合对称轴方程可得1<−b2a<32，当−b2a<32时，b>-3a，当x=2时，y=4a+2b+c=0，则b=-2a-12c，根据b>-3a可判断③；设y1＝ax2+bx+c，y2=-cx1+c，结合图象可判断④.
二、填空题
13．函数 y=x−3 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【分析】根据二次根式 a 有意义的条件是a≥0，即可求解．
14．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于
【答案】100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
15．对于非零实数a，b，规定a⊕b＝1a−1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 .
【答案】56
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：
12x−1−12＝1，
等式两边同时乘以2(2x−1)得，
2−2x+1=2(2x−1)，
解得：x＝56，
经检验，x＝56是原方程的根，
∴x＝56，
故答案为：56.
【分析】根据定义的新运算可得12x-1-12=1，等式两边同时乘以2(2x-1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，然后进行检验即可.
16．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝ .
【答案】48
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48.
故答案为：48.
【分析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则大正方形的边长为(a+b)，最小正方形的边长为（a-b），根据勾股定理a2+b2＝EF2＝16，由S1＝(a+b)2，S2＝42＝16，S3＝(a-b)2，可得出答案.
17．分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ .
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣运用公式法；十字相乘法因式分解
【解析】【解答】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）.
【分析】首先利用十字相乘法分解可得原式=(a2+1)(a2-4)，然后对后面括号中的式子利用平方差公式分解即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点P(2，3)，且与函数y=2x(x>0)的图象交于点Q(m，n).若一次函数y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
【答案】23
【解析】【解答】解：当PQ平行于x轴时，点Q的坐标为(m，3)，代入y=2x中，可得m=23；
当PQ平行于y轴时，点Q的坐标为(2，n)，可得m=2；
∵一次函数y随x的增大而增大，
∴m的取值范围是23
19．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x2x1+x1x2＝x12+2x2﹣1，则k的值为 .
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵x2x1+x1x2＝x12+2x2﹣1，
∴(x1+x2)2−2x1x2x1x2＝2（x1+x2）﹣k，
∴22−2(k−1)k−1＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得(x1+x2)2−2x1x2x1x2＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
20．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 .
【答案】10
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝AB2+BG2＝62+(4+4)2＝10，
∴AF+CE的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，易得四边形EFGC是平行四边形，则CE＝FG，AF+CE＝AF+FG，故当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，接下来利用勾股定理计算即可.
三、解答题
21．（1）计算：128+|(−12)−1|−2cos45°；
（2）先化简，再求值：（ab2−a2+1b+a）÷bb−a，其中a＝﹣5，b＝5+4.
【答案】（1）解：原式＝12×22+2−2×22
＝2+2﹣2
＝2
（2）解：原式＝[a(b+a)(b−a)+b−a(b+a)(b−a)]•b−ab
＝b(b+a)(b−a)⋅b−ab
＝1b+a.
当a＝﹣5，b＝5+4时，
原式＝15+4−5=14
【知识点】实数的运算；利用分式运算化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及绝对值的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）对括号中的第一个分式的分母进行分解，然后通分，再将除法化为乘法，然后约分即可对原式进行化简，最后将a、b的值代入计算即可.
22．如图，▱ABCD中，E、F是对角线BD上两个点，且满足BE=DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴∠ABF=∠CDE，
在ΔABE和ΔCDF中
∵AB=CD∠ABF=∠CDEBE=DF，
∴ΔABE≌ΔCDF.
（2）证明：由（1）可知，ΔABE≌ΔCDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴ AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，AB=CD，由平行线的性质可得∠ABF=∠CDE，结合BE=DF，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=CF，∠AEB=∠DFC，推出AE//CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明.
23．为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛.数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
【答案】（1）14；0.2
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2.
故答案为：14，0.2；
【分析】（1）用89.5~94.5的频率乘以总人数可得m的值，利用79.5~84.5的频数除以总人数可得n的值；
（2）根据m的值即可补全频数分布直方图；
（3）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的情况数，然后根据概率公式进行计算.
24．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°.
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离.（结果保留根号）
【答案】（1）解：过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝AEED＝xx+60＝33，
∴x＝303+30，
经检验：x＝303+30是原方程的根，
∴AE＝（303+30）米，
∴河的宽度为（303+30）米；
（2）解：过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（303+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝BFtan60°＝303+303＝（30+103）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝303+30﹣（30+103）＝203（米），
∴古树A、B之间的距离为203米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝(x+60)米，根据平角的概念可得∠ACE＝45°，则AE＝x米，利用三角函数的概念可求出x，据此可得AE；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝(303+30)米，AB＝EF，根据邻补角的性质可得∠BCF＝60°，利用三角函数的概念可得CF，然后根据AB＝EF＝CE-CF进行计算.
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝23，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：直线AF与⊙O相切.
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
OA=OC∠AOF=∠COFOF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）解：∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE=CE=12AC，OE⊥AC，
∵∠OAF=90°，OA=6，AF=23，
∴tan∠AOF=AFOA=236=33，
∴∠AOF＝30°，
∴AE=12OA=3，
∴AC=2AE=6；
（3）解：∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP=3OC=63，
∴S△OCP＝12OC⋅CP=12×6×63=183，S扇形AOC=60⋅π×62360=6π，
∴阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形AOC＝183−6π.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCP＝90°，由平行线的性质可得∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B，则∠AOF＝∠COF，证明△AOF≌△COF，得到∠OAF＝∠OCF＝90°，则AF⊥OA，据此证明；
（2）由等腰三角形的性质可得AE=CE=12AC，OE⊥AC，利用三角函数的概念求出tan∠AOF的值，得到∠AOF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE=12OA，据此求解；
（3）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，OC＝6，根据三角函数的概念可得CP，然后根据S阴影=S△OCP-S扇形AOC进行计算.
26．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【答案】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）解：师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）解：设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带可得学生的总数为(30x+7)人；根据每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生可得学生总数为(31x-1)人，然后根据学生数一定列出方程，求解即可；
（2）根据（1）的结果可得师生总数为247+8＝255（人），由题意可得一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8-m)辆，根据租金总费用不超过3000元可得400m+320(8-m)≤3000；根据总人数为255人可得35m+30(8-m)≥255，联立可求出m的范围，结合m为正整数可得m的取值，据此可得租车方案；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8-m)辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，根据甲型客车的辆数×租金+乙型客车的辆数×租金可得w与m的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若EFBF＝2，求ANND的值；
（3）若MN∥BE，求ANND的值.
【答案】（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝12CD，
∵AB＝CD，
∴BM=CE=12AB，
∴AM=BM，
∴AM＝CE
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴BFEF=BMCE=12，
∵CE＝3，
∴BM＝32，
∴AM＝92，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴ANBM=AMBC，
∴AN32=924，
∴AN=2716，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣2716＝3716，
∴ANDN=27163716=2737
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴CEBC=BCBM，
∴34=4BM，
∴BM=163，
∴AM=AB−BM=6−163=23，
由（2）同理得，ANBM=AMBC，
∴AN163=234，
解得：AN＝89，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣89＝289，
∴ANND=89289=27.
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得BF＝EF，根据矩形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质可得∠BMF＝∠ECF，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得到BM＝CE，根据中点的概念可得CE＝12CD，结合AB=CD可得AM=BM，据此证明；
（2）由平行线的性质可得∠BMF＝∠ECF，由对顶角的性质可得∠BFM＝∠EFC，证明△BMF∽△ECF，根据相似三角形的性质可得BM的值，然后求出AM，由同角的余角相等可得∠ANM＝∠BMC，证明△ANM∽△BMC，根据相似三角形的性质可得AN，由DN＝AD-AN可得DN，据此求解；
（3）根据平行线的性质可得∠BFC＝∠CMN，由同角的余角相等可得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，结合三角函数的概念可得BM，由AM=AB-BM可得AM，由（2）可得AN，根据DN=AD-AN可得DN，据此求解.
28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）.
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）.
∴16a−4b+c=04a+2b+c=0c=2，
解得：a=−14b=−12c=2，
∴抛物线的解析式为y=−14x2−12x+2
（2）解：过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图.
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则−4k+t=0t=2，
解得：k=12t=2，
∴直线AC的解析式为y=12x+2.
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH=−14m2−12m+2，GH=12m+2
∴DG=−14m2−12m+2−12m−2=−14m2−m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝OAAC=442+22＝255，
∴DEDG=255，
∴DE=255DG=255(−14m2−m)=−510(m2+4m)=−510(m+2)2+255，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值255.
此时yD=−14×(−2)2−12×(−2)+2=2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）解：如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝12EB×(yC−yP)：12AE×(yC−yP)=EB：AE，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或23，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝23x+2，
联立方程组y=−2x+2y=−14x2−12x+2或y=23x+2y=−14x2−12x+2，
解得：x＝6或﹣143（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将A（-4，0）、B（2，0）、C（0，2）代入y＝ax2+bx+c中求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，表示出DH、GH、DG，由等角的余角相等可得∠EDG＝∠CAO，则cos∠EDG=cos∠CAO，结合三角函数的概念可得DE，根据二次函数的性质可得DE的最大值以及对应的点D的坐标；
（3）设直线CP交x轴于点E，由三角形的面积公式结合题意得EB∶AE＝1∶5或5∶1，则AE＝5或1，即E（1，0）或（-3，0），求出直线CP的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标.
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