(通用版)高考数学选填考点压轴题型33《与导数相关的极值、最值》(含答案详解)

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题型33   与导数相关的极值、最值【方法点拨】极值问题转化为(二次)方程根的问题,为求某个表达式的范围,其难点在于消元、新元的范围.【典型题示例】例1     (2021·江苏天一三检)已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ）A.  B. C.                     D.【答案】D【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【解析】由题意得，令，得，由题意知在上有两个根，，∴，得．由根与系数的关系得，由求根公式得，∵，∴，∵，∴．则，令，则．设，则，易知在上单调递增，∴，∴当时，函数为减函数，∴，且，∴，故选：D.点评：1.根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围，以及与之间的关系；2.将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.例2   已知，是函数，的两个极值点，若， 则的取值范围为　        　．【答案】【分析】先由题得所以，化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.【解析】（）∵，是函数的两个极值点∴是两个根，由韦达定理得，且故，所以令，则由，所以在单调递减，又当时，， ，所以函数g(x)的值域为.即的取值范围为.点评：解决以极值为背景的范围问题，关键点有二，一是减元，二是构造函数，最终转化为区间上的最值问题.例3    已知函数(aR)的最小值为2，则实数的值是_________.     【答案】或【解析】∵，        当a≤0时，，∴是(0，)上的减函数，        ∴函数无最小值，舍去；        当a＞0时，由得，，        ∴在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，        ∴函数的最小值为，        由，得，        解得或.
【巩固训练】1. 设函数有两个极值，实数的取值范围是____________.   2.若函数在和两处取得极值，且，则实数a的取值范围是       ．3.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是             ．4.已知函数（其中a为常数），设函数有两个极值点，若恒成立，求实数的取值范围．5.已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值，若f(x)在(0，e]上的最大值为1，则a的值为          ．6.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．，
【答案与提示】1.【答案】(，0)【解析】 ∵，        若函数有两个极值，则，解得，        故a的取值范围是(，0).2.【答案】 [，)【解析】∵函数在和两处取得极值，且∴方程有两个根和，且考虑函数和的图象，利用导数，不难得到时，方程 有两个根进一步的，由构造函数，可知在区间上减，在区间上增，且∴，即，解之得∴，故综上得：实数a的取值范围是．         3.【答案】【解析】不难得出：，，（下略）.4.【答案】 【解析】 ，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，易知．则，故，要使恒成立，只需恒成立．因为 令，则，当时，，为减函数，所以．由题意，要使恒成立，只需满足．所以实数的取值范围．5.【答案】a＝或a＝－2【解析】因为f(x)＝ln x＋ax2＋bx，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋b，因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0，b＝－2a－1f′(x)＝＝(x＞0)，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，因为f(x)在x＝1处取得极值，所以x2＝≠x1＝1.①当a＜0，即＜0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f(x)在区间(0，e]上的最大值为f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2.②当a＞0，即x2＝＞0时，若＜1，f(x)在，[1，e]上单调递增，在上单调递减，所以最大值可能在x＝或x＝e处取得，而f＝ln＋a2－(2a＋1)·＝ln－－1＜0，令f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝.若1＜＜e，f(x)在区间(0,1)，上单调递增，在上单调递减，所以最大值可能在x＝1或x＝e处取得，而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，令f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝，与1＜x2＝＜e矛盾．若x2＝≥e，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x＝1处取得，而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，矛盾．综上所述，a＝或a＝－2.6.【答案】【解析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，在递减，在递增，显然在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，，（原定义域，这里为方便讨论，考虑，当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．故选：．