(通用版)高考数学选填考点压轴题型26《有关三角形中的范围问题》(含答案详解)

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题型26   有关三角形中的范围问题【方法点拨】1.正弦平方差公式sin2－sin2＝sin(－ sin(＋2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些. 【典型题示例】例1   在锐角中，，则的取值范围为______________.【答案】【解析】∵，利用正弦定理可得：，由正弦平方差公式得，即，易知，故又为锐角三角形，∴，即，∴，∴，∵又，∴，令，则，由对勾函数性质知，在上单调递增，又，，∴.例2   若的内角满足，则的最小值是            ．【答案】【分析】将已知和所求都“化边”，然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可.（公众号：钻研数学）【解析】　∵sin A＋sin B＝2sin C.由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，cos C＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.∴cos C的最小值为.例3  在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为　　　　．【答案】【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：，如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，因为，所以，，化简，得：，解得：x＝3y，，，＝＝＝＝.【解析二】（边化角）由正弦定理，得：，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理，得：，即，化简得，以主元，化简得.例4  在中，角所对的边分别为，若，则的面积的最大值为              ．【答案】【解析一】（余弦定理+二次函数）看到式子的结构特征，联想余弦定理得：所以当时，，的面积的最大值为．【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式）设BC边上的中线为AM，则∵    ∴代人得：，即根据基本不等式得：又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高所以所以，，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时的面积的最大值为．【解法三】（隐圆）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设A，B，C(x，y)，则由a2＋b2＋2c2＝8，得2＋y2＋2＋y2＋2c2＝8，即x2＋y2＝4－c2，所以点C在以原点(0,0)为圆心，为半径的圆上，所以S≤＝≤.
【巩固训练】1. （多选题）在中，角的对边分别为，若，则角可为（    ）A． B． C． D．2.在△ABC中，若，则cosB的最小值是       .3. 已知中， ，则的最大值是  (    )A．       B．      C．       D．4.若的内角满足，则角的最大值是      .5.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ）A.  B.  C.    D.6.在锐角中，角的对边分别是，，当则变化时，存在最大值，则正数的取值范围为______________.A.                                     B.                C.                                  D. 7. 在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________．
【答案与提示】1. 【答案】BC【解析】∵，利用正弦定理可得：，由正弦平方差公式得，即，易知，故∴，即∵，   ∴，∴，故选：BC.2.【答案】【提示】已知可化为，弦化切得∴∴，，∴.3. 【答案】A【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决.4.【答案】【解析】由可得：， ∵在递减，∴5. 【答案】C【解析】由得：，即即，而，所以又为锐角三角形，∴，即，∴，∴6. 【答案】A【解析】由，得：根据正弦定理得：，即又为锐角三角形，∴，即，∴，∴ ，（）∵∴欲使存在最大值，必有∴，故，即.7.【答案】【解析】由题得，所以，所以因为所以 故答案为：．