高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用学案

这是一份高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用学案，共9页。

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理
知识点 函数模型及其应用
1．几类常见的函数模型
2．三种函数模型的性质
3.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
重要结论
1．函数f(x)＝eq \f(x,a)＋eq \f(b,x)(a>0，b>0，x>0)在区间(0，eq \r(ab)]内单调递减，在区间[eq \r(ab)，＋∞)内单调递增．
2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )
(3)幂函数增长比直线增长更快．( × )
(4)不存在x0，使ax0[解析] (1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.
(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a·bx＋c.
(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．
(4)当a∈(0，1)时存在x0，使ax0题组二 走进教材
2．(必修1P107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
3．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( D )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
[解析] 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意，故选D．
4．(必修1P104例5改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alg3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )
A．200只 B．300只
C．400只 D．500只
[解析] ∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alg3(x＋1)，这种动物第2年有100只，
∴100＝alg3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100lg3(x＋1)，
∴当x＝8时，y＝100lg3(8＋1)＝100×2＝200.故选A．
5．(必修1P107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．
[解析] 利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq \f(1,2)(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
题组三 走向高考
6．(2020·全国Ⅲ，4)Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23（t－53）)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( C )
A．60 B．63
C．66 D．69
[解析] 本题以Lgistic模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t*)＝eq \f(K,1＋e－0.23（t*－53）)＝0.95K，化简得e－0.23(t*－53)＝eq \f(1,19)，即0.23(t*－53)＝ln 19，所以t*＝eq \f(ln 19,0.23)＋53≈eq \f(3,0.23)＋53≈66.故选C．
考点突破·互动探究
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点 函数模型及应用
考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透
例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( A )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )
[解析] (1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确．从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A．
(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D错误．故选A、B、C．
(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A、C、D，选B．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
1.用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研
例2 (2020·北京十一中月考)已知14C的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C的残余量占原始量的一半)．设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系为b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：lg20.767≈－0.4)．
[解析] 由题意可知，当x＝5 730时，ae－5 730k＝eq \f(1,2)a，解得k＝eq \f(ln 2,5 730).现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.
所以76.7%＝e－eq \f(ln 2,5 730)x，得ln 0.767＝－eq \f(ln 2,5 730)x，
x＝－5 730×eq \f(ln 0.767,ln 2)＝－5 730×lg2 0.767≈2 292.
〔变式训练1〕
(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b(其中x为销售额，y为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．
[解析] 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1，,alg464＋b＝4，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2.))
所以y＝2lg4x－2，当y＝8时，有2lg4x－2＝8，解得x＝1 024.
考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究
角度1 一次函数、二次函数分段函数模型
例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．
该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下：
f(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100a\s\up6(\f(t,10))－60（0≤t≤10），,340（100且a≠1)．
若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：
(1)求a的值；
(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；
(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
[解析] (1)由题意得，当t＝5时，f(t) ＝140，
即100·aeq \s\up6(\f(5,10))－60＝140，解得a＝4.
(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．
(3)①当0②当10140恒成立；
③当20综上所述，5≤t≤eq \f(100,3).
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持eq \f(100,3)－5＝eq \f(85,3)分钟．
名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
(3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值．
角度2 指数函数与对数函数模型
例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blg3eq \f(Q,10)(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
[分析]
(1)eq \x(根据已知列出方程组)→eq \x(解方程组求a，b的值)
(2)eq \x(由（1）列出不等式)→eq \x(解不等式求Q的最小值)
[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blg3eq \f(30,10)＝0，即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
则a＋blg3eq \f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1.))
(2)由(1)知，v＝a＋blg3eq \f(Q,10)＝－1＋lg3eq \f(Q,10).
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则v≥2，
所以－1＋lg3eq \f(Q,10)≥2，即lg3eq \f(Q,10)≥3，解得eq \f(Q,10)≥27，即Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( A )
A．[4，8] B．[6.10]
C．[4%，8%] D．[6%，10%]
(2)(角度2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]．
(2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝eq \f(1,2)a，∴e－8b＝eq \f(1,2).令y＝eq \f(1,8)a，即ae－bt＝eq \f(1,8)a，e－bt＝eq \f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，∴再经过16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
函数y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)模型及应用
例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝eq \f(1,3)x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq \f(100,x)－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：
当0当x≥8时，L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x))).
所以L(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0(2)当0此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．
当x≥8时，L(x)＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq \r(x·\f(100,x))＝35－20＝15(万元)．
此时，当且仅当x＝eq \f(100,x)，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋eq \f(b,x)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
〔变式训练3〕
某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m，20_m时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m2.
[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m，则后侧边长为eq \f(800,x) m，所以蔬菜种植面积y＝(x－4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(800,x)－2))＝808－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1 600,x)))(4因为x＋eq \f(1 600,x)≥2eq \r(x·\f(1 600,x))＝80，所以y≤808－2×80＝648.
当且仅当x＝eq \f(1 600,x)，即x＝40时取等号，此时eq \f(800,x)＝20，ymax＝648.
即当矩形温室的相邻边长分别为40 m，20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m2.
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgaxx
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00