高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词学案

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ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点一 简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，
(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，
(3)对一个命题p的否定记作¬ p，
(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表
知识点二 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
(1)
(2)p∨q的否定是(¬ p)∧(¬ q)；
p∧q的否定是(¬ p)∨(¬ q)．
重要结论
1．逻辑联结词与集合的关系．
(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；
(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；
(3)“非”与集合中的补集相类似．
2．常用短语的否定词
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √ )
(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(4)命题¬ (p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √ )
题组二 走进教材
2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )
A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0
[解析] 对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．
3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬ p，¬ q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬ p，¬ q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．
题组三 走向高考
4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是①③④．
①p1∧p4 ②p1∧p2
③(¬ p2)∨p3 ④(¬ p3)∨(¬ p4)
[解析] 对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而¬ p2是真命题；
对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而¬ p3是真命题；
对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p4是假命题．
综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，(¬ p2)∨p3是真命题，(¬ p3)∨(¬ p4)是真命题，所以答案为①③④.
5．(2016·浙江，5分)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( D )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nB．∀x∈R，∀x∈N*，使得nC．∃x∈R，∃n∈N*，使得nD．∃x∈R，∀n∈N*，使得n[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D．
6．(2015·山东，5分)若“∀x∈[0，eq \f(π,4)]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．
[解析] 由已知可得m≥tan x(x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))))恒成立．设f(x)＝tan x(x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))))，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝tan eq \f(π,4)＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.
考点突破·互动探究
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透
例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )
A．(¬ p)∨(¬ q) B．p∧(¬ q)
C．(¬ p)∧(¬ q) D．p∨q
(2)(多选)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD )
A．p或q B．p且q
C．q D．¬ p
(3)已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假．
其中，正确的是②．(填序号)
[解析] (1)命题p是“甲降落在指定范围”，则¬ p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则¬ q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．
(2)取x＝eq \f(π,3)，y＝eq \f(5π,6)，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故¬ p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
(3)命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
考点二 含有一个量词的命题——多维探究
角度1 全称命题、特称命题的真假
例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD )
A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2 >0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
[解析] 根据指数函数的值域知A是真命题；取x＝1，计算知(x－1)2＝0，故B是假命题；取x＝1，计算知lg x＝0<1，故C是真命题；由y＝tan x的值域为R.知D是真命题．故选ACD．
角度2 含一个量词的命题的否定
例3 (1)已知命题p：“∃x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则¬ p为( C )
A．∃x0∈R，ex0－x0－1≥0
B．∃x0∈R，ex0－x0－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x∈R，eq \f(x,x－1)≥0”的否定是( D )
A．∃x∈R，eq \f(x0,x0－1)<0 B．∃x∈R，0C．∀x∈R，eq \f(x,x－1)≤0 D．∃x∈R，0[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C．
(2)∀x∈R，eq \f(x,x－1)≥0的否定是∃x0∈R，使eq \f(x,x－1)不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x0∈R，0名师点拨 MING SHI DIAN BO
全(特)称命题真假的判断方法
注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现．
角度3 含参命题中参数的取值范围
例4 已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－m，若对于∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( A )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋ ∞)) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝eq \f(1,4)－m，
由f(x)min≥g(x)min得0≥eq \f(1,4)－m，所以m≥eq \f(1,4).
[引申1]把本例中“∃x2∈[1，2]”改为：“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是m≥eq \f(1,2)．
[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝eq \f(1,2)－m，
由f(x)min≥g(x)max得0≥eq \f(1,2)－m，所以m≥eq \f(1,2).
[引申2]把本例中，∀x1∈[0，3]改为∃x1∈[0，3]其他条件不变，则实数m的取值范围是m≥eq \f(1,4)－ln_10．
[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max＝f(3)＝ln 10，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝eq \f(1,4)－m，
由f(x)max≥g(x)min得ln 10≥eq \f(1,4)－m，
所以m≥eq \f(1,4)－ln 10.答案：m≥eq \f(1,4)－ln 10
[引申3]把本例中，∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]改为∃x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m的取值范围是
eq \a\vs4\al(m≥\f(1,2)－ln 10)．
[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max＝f(3)＝ln 10，
当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝eq \f(1,2)－m，
由f(x)max≥g(x)max，得ln 10≥eq \f(1,2)－m，
所以m≥eq \f(1,2)－ln 10.答案：m≥eq \f(1,2)－ln 10
名师点拨 MING SHI DIAN BO
根据复合命题的真假求参数范围的步骤
(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．
(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)．
(3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD )
A．∃x0∈R，sin2 eq \f(x0,2)＋cs2 eq \f(x0,2)＝eq \f(1,2)
B．∀x∈(0，π)，sin x>cs x
C．∀x∈(0，＋∞)，x2＋1>x
D．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＝－1
(2)(角度2)已知命题p：∃x0∈R，lg2(3x0＋1)≤0，则( B )
A．p是假命题；¬ p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；¬ p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0
C．p是真命题；¬ p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；¬ p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0
(3)(角度3)已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( C )
A．(－∞，－2)∪{1} B．(－∞，－2]∪[1，2]
C．(1，＋∞) D．[－2，1]
(4)(角度3)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a和g(x)＝2x＋eq \r(x＋1)，对∀x1∈[－1，＋∞)，∃x2∈R使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
[解析] (1)对于A，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x∈R，sin2 eq \f(x,2)＋cs2 eq \f(x,2)＝1，所以A为假命题；对于B，取特殊值，当x＝eq \f(π,4)时，sin x＝cs x＝eq \f(\r(2),2)，所以B为假命题；对于C，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C为真命题；对于D，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D错误．故选A、B、D．
(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则lg2(3x＋1)>0，∴p是假命题，¬ p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0.故选B．
(3)命题p为真命题时a≤1；命题q：“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”为真命题，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q为真命题，即¬ p真且q真，所以a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．故选C．
(4)因为f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，
所以f(x)∈[a－1，＋∞)．
因为g(x)＝2x＋eq \r(x＋1)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a－1≤－2，
所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
简易逻辑的综合应用
例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．
〔变式训练2〕
(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．
p
q
¬ p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，¬ p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，¬ p(x)
若给定语为
等于
大于
是
且
或
一定
都是
至多有一个
至少有一个
至多
有n个
其否定
语为
不等
于
小于或
等于
不是
或
且
一定
不
不都
是
至少有
两个
没有
至少有
n＋1个
全称命题
特称命题
真假
真
假
真
假
法一
证明所有对象使命题为真
存在一个对象使命题为假
存在一个对象使命题为真
证明所有对象使命题为假
法二
否定为假
否定为真
否定为假
否定为真