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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算教课课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算教课课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，知识点二交集等内容，欢迎下载使用。
1.理解两个集合的并集与交集的含义.(数学抽象)2.能求两个集合的并集与交集.(数学运算)3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象)
[激趣诱思]某单位食堂第一天买的菜的品种构成的集合记为A={黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子};第二天买的菜的品种构成的集合记为B={黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆}.问题:(1)两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?(2)两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?
名师点析 对并集概念的理解(1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形象地表示.
(3)并集的运算性质
微思考1(1)观察下列几组集合:①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6};②集合A={x|x是参加2018平昌冬奥会的男运动员},B={x|x是参加2018平昌冬奥会的女运动员},C={x|x是参加2018平昌冬奥会的运动员};③集合A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},C={x|x是整数}.上述各组中,集合C与集合A,B之间有什么关系?提示 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.(2)思考(1)①中,集合A中有4个元素,集合B中也有4个元素,集合C中却有6个元素,为什么?提示 集合中元素的互异性,相同的元素只出现一次.
微思考2(1)A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗?提示 不一定,当两集合没有公共元素时,A∪B中的元素就是由集合A和集合B的所有元素组成,当两集合有公共元素时,由集合中元素的互异性可知,两集合的公共元素只出现一次.(2)根据两集合并集的定义可知,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有什么关系?提示 根据两集合并集的定义,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有以下三种关系:①x∈A且x∉B;②x∈B且x∉A;③x∈A且x∈B.(3)若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征?提示 两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集.
名师点析 对交集概念的理解(1)A∩B仍是一个集合,A∩B由所有属于集合A且属于集合B的元素组成.(2)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是A∩B=⌀.(4)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立.
(5)交集的运算性质
名师点析 求两集合交集的注意点(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合元素的性质特征尽量明显化,然后根据交集的含义写出结果.(2)在求与不等式有关的集合的交集运算时,数轴分析法直观清晰,因此,应重点考虑.
微思考1(1)观察下列几组集合:①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4};②集合A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};③集合A={x|x>0},B={x|x<2},C={x|0
例1(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},集合B={x|(x-3)(x+1)=0},求A∩B,A∪B.
解 (1)∵集合A={x|x2-4x+3=0},∴A={1,3}.∵集合B={x|(x-3)(x+1)=0},∴B={-1,3}.∴A∩B={3},A∪B={-1,1,3}.
反思感悟 求两个集合交集、并集的方法若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果,要注意若集合不是最简形式,需要先化简集合,求并集时,不是单纯的合并元素,相同的元素只能写一次;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,利用数轴时,要注意端点的取舍及表示.
变式训练1(1)(2021江西南昌高一期末)设集合M={m∈Z|-3
答案 5或-3解析 ∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得a的值为5或-3.
反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.
延伸探究 例2中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解 ∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.
例3集合A={x|-1
延伸探究 例3(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解 利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以{a|a>-1}.
例4设集合M={x|-2
延伸探究 将例4条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.解 由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,需所以t的取值范围为{t|t≥4}.
例5设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范围;(2)若A∪B=B,求a的值.
解 由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,B=⌀,{0},{2},{0,2}.当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;综上所述,得a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.
反思感悟 利用交集、并集运算求参数的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
变式训练2已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=M时,求实数m的值.解 (1)由题意得M={2}.当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M∩N=M,∴M⊆N.∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.
分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.
典例 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【规范答题】解 (1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.验证:a=-3时,B={2},a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.∴a的值为-1或-3.
(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B⊆A.①当Δ<0,即a<-3时,B=⌀,满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2},才能满足条件,由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且1×2=a2-5.∴a=- 且a2=7,矛盾.∴a>-3不满足条件.综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.
方法点睛 将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其不要忽略无解的情况,即B为空集的情况.
1.(2021安徽合肥高一期末)已知集合A={-1,0,1},B={1,2,3},则A∪B=( )A.{1}B.{-1,0,1,2,3}C.{-1,0,1,1,2,3}D.{-1,3}答案 B解析 ∵A={-1,0,1},B={1,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3}.故选B.
2.(2021四川成都七中高一期末)已知集合A={x∈R|-13.(2021江苏锡山高级中学高一期末)集合A={x|22}D.{x|x≤4}答案 B解析 由题意得B={x|x≥3},所以A∩B={x|3≤x≤4},故选B.
4.已知集合A={2,m},集合B={1,m2},若A∪B={1,2,3,9},则实数m= . 答案 3
5.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是 . 答案 a≥2解析 由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},因为A∪B=B,所以A⊆B.在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
6.已知全集U=R,集合A={x∈R|2x-3≥0},B={x|1
1.理解两个集合的并集与交集的含义.(数学抽象)2.能求两个集合的并集与交集.(数学运算)3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象)
[激趣诱思]某单位食堂第一天买的菜的品种构成的集合记为A={黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子};第二天买的菜的品种构成的集合记为B={黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆}.问题:(1)两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?(2)两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?
名师点析 对并集概念的理解(1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形象地表示.
(3)并集的运算性质
微思考1(1)观察下列几组集合:①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6};②集合A={x|x是参加2018平昌冬奥会的男运动员},B={x|x是参加2018平昌冬奥会的女运动员},C={x|x是参加2018平昌冬奥会的运动员};③集合A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},C={x|x是整数}.上述各组中,集合C与集合A,B之间有什么关系?提示 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.(2)思考(1)①中,集合A中有4个元素,集合B中也有4个元素,集合C中却有6个元素,为什么?提示 集合中元素的互异性,相同的元素只出现一次.
微思考2(1)A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗?提示 不一定,当两集合没有公共元素时,A∪B中的元素就是由集合A和集合B的所有元素组成,当两集合有公共元素时,由集合中元素的互异性可知,两集合的公共元素只出现一次.(2)根据两集合并集的定义可知,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有什么关系?提示 根据两集合并集的定义,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有以下三种关系:①x∈A且x∉B;②x∈B且x∉A;③x∈A且x∈B.(3)若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征?提示 两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集.
名师点析 对交集概念的理解(1)A∩B仍是一个集合,A∩B由所有属于集合A且属于集合B的元素组成.(2)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是A∩B=⌀.(4)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立.
(5)交集的运算性质
名师点析 求两集合交集的注意点(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合元素的性质特征尽量明显化,然后根据交集的含义写出结果.(2)在求与不等式有关的集合的交集运算时,数轴分析法直观清晰,因此,应重点考虑.
微思考1(1)观察下列几组集合:①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4};②集合A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};③集合A={x|x>0},B={x|x<2},C={x|0
例1(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},集合B={x|(x-3)(x+1)=0},求A∩B,A∪B.
解 (1)∵集合A={x|x2-4x+3=0},∴A={1,3}.∵集合B={x|(x-3)(x+1)=0},∴B={-1,3}.∴A∩B={3},A∪B={-1,1,3}.
反思感悟 求两个集合交集、并集的方法若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果,要注意若集合不是最简形式,需要先化简集合,求并集时,不是单纯的合并元素,相同的元素只能写一次;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,利用数轴时,要注意端点的取舍及表示.
变式训练1(1)(2021江西南昌高一期末)设集合M={m∈Z|-3
答案 5或-3解析 ∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得a的值为5或-3.
反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.
延伸探究 例2中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解 ∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.
例3集合A={x|-1
延伸探究 例3(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解 利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以{a|a>-1}.
例4设集合M={x|-2
延伸探究 将例4条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.解 由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,需所以t的取值范围为{t|t≥4}.
例5设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范围;(2)若A∪B=B,求a的值.
解 由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,B=⌀,{0},{2},{0,2}.当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;综上所述,得a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.
反思感悟 利用交集、并集运算求参数的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
变式训练2已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=M时,求实数m的值.解 (1)由题意得M={2}.当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M∩N=M,∴M⊆N.∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.
分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.
典例 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【规范答题】解 (1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.验证:a=-3时,B={2},a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.∴a的值为-1或-3.
(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B⊆A.①当Δ<0,即a<-3时,B=⌀,满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2},才能满足条件,由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且1×2=a2-5.∴a=- 且a2=7,矛盾.∴a>-3不满足条件.综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.
方法点睛 将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其不要忽略无解的情况,即B为空集的情况.
1.(2021安徽合肥高一期末)已知集合A={-1,0,1},B={1,2,3},则A∪B=( )A.{1}B.{-1,0,1,2,3}C.{-1,0,1,1,2,3}D.{-1,3}答案 B解析 ∵A={-1,0,1},B={1,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3}.故选B.
2.(2021四川成都七中高一期末)已知集合A={x∈R|-1
4.已知集合A={2,m},集合B={1,m2},若A∪B={1,2,3,9},则实数m= . 答案 3
5.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是 . 答案 a≥2解析 由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},因为A∪B=B,所以A⊆B.在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
6.已知全集U=R,集合A={x∈R|2x-3≥0},B={x|1
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