人教版七年级数学上册02《数轴与相反数》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）

数轴与相反数（基础）

【学习目标】

1．理解数轴的概念及三要素；

2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；

3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；

4. 掌握多重符号的化简.

【要点梳理】

要点一、数轴

1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

要点诠释：

（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.

（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．

（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．

2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.

要点诠释：

（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

要点二、相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.

2.性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.

（2）互为相反数的两数和为0.

要点三、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .

要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.

【典型例题】

类型一、数轴的概念

1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是    (    )

    A．(1)(2)(3)    B．(2)(3)(4)    C．只有(2)    D．(1)(2)(3)(4)

【答案】C

【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.

【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．

类型二、相反数的概念

2．（2015•宜宾）﹣的相反数是（　　）

A．5       B．            C．﹣              D.-5

【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.

【答案】B

【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.

举一反三：

【高清课堂：数轴和相反数 例1（1）~（7）】

【变式1】填空：

(1) －(－2.5)的相反数是     ；(2)    是-100的相反数；(3) 是     的相反数；

(4)     的相反数是-1.1；(5)8.2和     互为相反数.（6）a和      互为相反数 .

（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．

【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 .

【高清课堂：数轴和相反数 例2】

【变式2】下列说法中正确的有(    )

①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．

A. 0个    B.1个   C.2个   D.3个或更多

【答案】B

3．（2016•泰安模拟）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（　　）

A．点A    B．点B     C．点C      D．点D

【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．

【答案】A

【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，

∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．

故选A．

【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．

类型三、多重符号的化简

4.化简下列各数中的符号．

（1）   （2）-(+5)  （3）-(-0.25)  （4）

（5）-[-(+1)]    （6）-(-a)

【答案】  (1)  （2）-(+5)＝-5       （3）-(-0.25)＝0.25

      （4）  （5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1    (6)-(-a)＝a

【解析】

 (1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ；

（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5；

（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；

（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；

（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．

所以-(-a)= a

【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

类型四、利用数轴比较大小 

5．在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来．

【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，-1，-2.5，，3．

   由上图可得：

∴

【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．

举一反三：

【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（　　）

A．b﹣a＞0      B．﹣b＜0      C．﹣a＞﹣b      D．﹣ab＜0

【答案】D

【高清课堂：数轴和相反数  例4（2）】

【变式2】填空：

大于且小于的整数有______个； 比小的非负整数是____________．

【答案】11；0，1，2，3

类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）

6．已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数．

【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是．

【答案与解析】

解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而a＜b，所以，．

【总结升华】(1)理解相反数的几何意义． (2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．

举一反三：

【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．

【答案】（1）±5， 提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个．

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015•江阴市模拟）﹣5的相反数是（　　）

A．5      B．-5      C．±5      D．﹣

2．下列说法正确的是(    )

    A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数

    B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数

    C．有的有理数不能在数轴上表示出来

    D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点

3．（2016•呼和浩特）互为相反数的两个数的和为（　　）

A．0     B．﹣1    C．1     D．2

4．如图，有理数a，b在数轴上对应的点如下，则有(    )．

(A)a＞0＞b    (B)a＞b＞0    (C)a＜0＜b    (D)a＜b＜0

5. 一个数比它的相反数小，这个数是（    ）

A.正数   B.负数   C.非正数   D.非负数

6. 如果，那么两个数一定是  （   ） 

A.都等于0     B.一正一负     C.互为相反数      D.互为倒数

二、填空题

1．________________的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是________．

2.（2015春•岳池县期中）若3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，则a与b的关系为　    　．

3.（2016•岳阳）如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　        　．

4．数轴上离原点5个单位长度的点有______个，它们表示的数是        ，它们之间的关系是          .

5．化简下列各数：

    (1)________ ；(2)________ ；(3)________.

【高清课堂：数轴和相反数  例4（5）】

6.已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为__________．

三、解答题

1．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米．

    (1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点)．

    (2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?

2.已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c的值是多少？

3．化简下列各数，再用“<”连接.

    (1)-(-54)    (2)-(+3.6)    (3)     (4)

4．已知3m-2与-7互为相反数，求m的值．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A 

2.【答案】D

【解析】A、B、C都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不都表示有理数；一个有理数在数轴上只有一个表示它的点．数轴上表示有理数的点一个点对应一个有理数．

3.【答案】A

【解析】解：互为相反数的两个数的和为0．

故选：A．

4. 【答案】C 

5. 【答案】B

【解析】因为一个负数的相反数是一个正数，负数小于正数，所以选B  

6. 【答案】C 

【解析】若，则一定互为相反数；反之，若互为相反数，则.

二、填空题

1. 【答案】只有符号不同，零  

【解析】相反数的定义

2.【答案】a=b.

【解析】∵3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，∴3a﹣4b+7a﹣6b=0，∴a=b.

3.【答案】2.

【解析】解：数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，

故答案为：2．

4. 【答案】两个，±5，互为相反数   

5. 【答案】  

【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正，；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负.

6. 【答案】－ b ＜-1＜0＜-a＜1.

三、解答题

1. 【解析】

(1)如图所示 

(2)小敏从邮局出发，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，其路程为50×8＝400(米)，由上图知，此时小敏位于家西300米处，所以小敏在学校与图书馆之间，且距图书馆100米，距学校150米．

2. 【解析】∵a是﹣（﹣5）的相反数，

∴a=﹣5，

∵b比最小的正整数大4，

∴b=1+4=5，

∵c是最大的负整数，

∴c=﹣1，

∴3a+3b+c=3×（﹣5）+3×5﹣1，

=﹣15+15﹣1，

=﹣1．

3．【解析】

(1)-(-54)＝54 

(2)-(+3.6)＝-3.6 

(3)   

（4），

将化简后的数表示在数轴上，由图可得：  -(+3.6) ＜＜＜-(-54).

4．【解析】依题意：3m-2＝7，故m＝3．