必刷提高练【1.1-1.2 正数和负数及有理数】-2022-2023学年七年级数学上册同步考点必刷练精编讲义（人教版）

2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高

第一章《有理数》

1.1-1.2 正数和负数及有理数

知识点1：正数和负数

【典例分析01】（2021•淄川区一模）某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（500±5）g，（500±10）g，（500±20）g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　）

A．10g B．20g C．30g D．40g

解：根据题意得：质量最多相差的值＝（500+20）﹣（500﹣20）＝40．

故选：D．

【变式训练1-1】（2020•新华区校级二模）一种零件的直径尺寸在图纸上是（单位：mm），它表示这种零件的标准尺寸是20mm，则加工要求尺寸最大不超过（　　）

A．0.03mm B．0.02mm C．20.03mm D．19.98mm

解：表示的意义：标准尺寸是20mm，可以在标准尺寸的基础上多0.03mm，或在标准尺寸的基础上少0.02mm，

因此加工要求尺寸最大不超过20+0.03＝20.03mm，

故选：C．

【变式训练1-2】（2019秋•镇雄县期末）阅览室某一书架上原有图书20本，规定每天归还图书为正，借出图书为负，经过两天借阅情况如下：（﹣3，+1），（﹣1，+2），则该书架上现有图书　19　本．

解：20﹣3+1﹣1+2

＝19（本）

故答案为：19

【变式训练1-3】（2019秋•芮城县期末）每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是　49.3　 kg．

解：50+（﹣0.7）＝49.3kg，

故答案为：49.3kg．

知识点2：有理数

【典例分析02】（2021秋•分宜县校级月考）在，π，﹣9.3，0，﹣32，这六个数中，分数有　3　个．

解：在，π，﹣9.3，0，﹣32，这六个数中，分数有，﹣9.3，共3个，

故答案为3．

【变式训练2-1】（2021秋•禹城市期中）在0，，0.3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．0

解：0，，0.3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有2个：

0，﹣23%．

故选：A．

【变式训练2-2】（2020秋•饶平县校级期末）下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．5个

解：①在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还表示正数与负数的分界等，故①错误；

②整数包括正整数、负整数和0，故②错误；

③整数和分数统称为有理数，故③错误；

④整数包括正整数和负整数、0，因此0不是最小的整数，故错误；

⑤所有的分数都是有理数，因此正确；

综上，⑤正确，

故选：A．

【变式训练2-3】（2020秋•仁寿县月考）所有大于﹣4.5且小于﹣1的整数有　﹣4，﹣3，﹣2　．

解：由﹣4.5＜整数＜﹣1，

得整数为﹣4，﹣3，﹣2，

故答案为：﹣4，﹣3，﹣2．

知识点3：数轴

【典例分析03】（2021秋•德惠市期中）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，点B对应的数是 　2020　．

解：∵点A、C对应的数分别为0和﹣1，

∴AC＝1，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝1，

∵△ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，

而2020＝1+673×3，

∴△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3＝2020．

故答案为2020．

【变式训练3-1】（2020秋•松山区期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（　　）

A．1.5 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．2.6

解：根据数轴得：﹣3＜x＜﹣2，

则点M表示的数可能为﹣2.6．

故选：C．

【变式训练3-2】（2020秋•北仑区期末）如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且AB＝BC．如果有a+b＜0、b+c＞0、a+c＜0，那么该数轴原点O的位置应该在（　　）

A．点A的左边 B．点A与B之间 C．点B与C之间 D．点C的右边

解：因为AB＝BC．a+b＜0、b+c＞0、a+c＜0，

所以a＜0，b＜0，c＞0，

符合条件的原点：在B与BC中点之间的线段上（不含B点和该中点）：

所以数轴原点O的位置应该在点B与点C之间．

故选：C．

【变式训练3-3】（2021秋•鼓楼区校级期中）数轴上点A对应的数为﹣2，与点A相距5个单位长度的点所对应的数为　﹣7或3　．

解：设在数轴上与点A相距5个单位长度的点所表示的数是x，

则|x﹣（﹣2）|＝5，

解得x＝﹣7或x＝3．

故答案为：﹣7或3

知识点4：相反数

【典例分析04】（2011•拱墅区校级模拟）若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（　　）

A．﹣2a和﹣2b B．a+1和b+1 C．a+1和b﹣1 D．2a和2b

解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0．

A中，﹣2a+（﹣2b）＝﹣2（a+b）＝0，它们互为相反数；

B中，a+1+b+1＝2≠0，即a+1和b+1不是互为相反数；

C中，a+1+b﹣1＝a+b＝0，它们互为相反数；

D中，2a+2b＝2（a+b）＝0，它们互为相反数．

故选：B．

【变式训练4-1】（2016秋•南阳期末）﹣的相反数是　　．

解：﹣的相反数是，

故答案为：．

【变式训练4-2】（2016秋•潮南区期末）如果a的相反数是1，那么a2017等于　﹣1　．

解：a的相反数是1，

a＝﹣1，

那么a2017＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【变式训练4-3】（2020秋•商水县校级月考）①已知x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，求a的值．

②已知﹣[﹣（﹣a）]＝8，求a的相反数．

解：①∵x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，

∴x＝2，

故4+3a＝5，

解得：a＝；

②∵﹣[﹣（﹣a）]＝8，

∴a＝﹣8，

∴a的相反数是8．

【变式训练4-4】（2021秋•包河区校级月考）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．

（1）在数轴上表示出a的相反数的位置．

（2）若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？

（3）在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？

解：（1）如图：

．

（2）﹣a﹣a＝20，

a＝﹣10．

即a表示的数是﹣10．

（3）﹣a＝10，

当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15，

当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5，

即b表示的数是5或15．

知识点5：绝对值

【典例分析05】（2021秋•椒江区期末）如图，a，b是数轴上的两个有理数，下面说法中正确的是（　　）

A．a＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|

解：根据题意可得，b＞a．

A．所以A选项不正确，故A选项不符合题意；

B．所以B选项正确，故B选项符合题意；

C．因为当a＜b＜0时，|a|＞|b|，所以C选项不正确，故C选项不符合题意；

D．因为当0＜a＜b时，|a|＜|b|，所以D选项不正确，故D选项不符合题意；

故选：B．

【变式训练5-1】（2021秋•河东区校级期末）若ab≠0，那么+的取值不可能是（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．2

解：∵ab≠0，

∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；

①当a＞0，b＞0时，

+＝1+1＝2；

②当a＜0，b＜0时，

+＝﹣1﹣1＝﹣2；

③当a＞0，b＜0时，

+＝1﹣1＝0；

④当a＜0，b＞0时，

+＝﹣1+1＝0；

综上所述，+的值为：±2或0．

故选：C．

【变式训练5-2】（2021秋•通川区期末）已知，＝﹣1，ab≥0，|abc|＝abc，化简|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝　﹣2b　．

解：∵＝﹣1，

∴a＜0，

∵ab≥0，

∴b≤0，

∵|abc|＝abc，

∴abc≥0，

∴c≥0．

∴a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，

∴|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣（a+b）+（a﹣c）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣b+a+c+a﹣c＝﹣2b．

故答案为：﹣2b．

【变式训练5-3】（2020秋•郫都区期末）如果|x﹣3|＝5，那么x＝　8或﹣2　．

解：∵|x﹣3|＝5，

∴x﹣3＝±5，

解得x＝8或﹣2．

故答案为：8或﹣2．

知识点6：非负数的性质：绝对值

【典例分析06】（2020秋•渑池县期末）若|a+2|+|b﹣7|＝0，则a+b的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5

解：∵|a+2|+|b﹣7|＝0，

∴|a+2|＝0，|b﹣7|＝0，

∴a+2＝0，b﹣7＝0，

解得，a＝﹣2，b＝7，

则a+b＝5，

故选：C．

【变式训练6-1】（2019秋•青山区期中）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（　　）

A．2014x B．x+2014 C．|2014x| D．|x|+2014

解：A、2014x表示任何有理数，故本选项错误；

B、x+2014表示任何有理数，故本选项错误；

C、当x＝0时，|2014x|＝0，故本选项错误；

D、|x|+2014≥0，是正数，故本选项正确．

故选：D．

【变式训练6-2】（2021秋•庆云县月考）已知：|2﹣x|+|y+3|＝0，则x﹣y＝　5　．

解：由题意得，2﹣x＝0，y+3＝0，

解得x＝2，y＝﹣3，

所以，x﹣y＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5．

故答案为：5．

【变式训练6-3】（2021秋•鼓楼区校级月考）若|a﹣2|与|b+3|互为相反数，则a+b的值为　﹣1　．

解：∵|a﹣2|与|b+3|互为相反数，

∴|a﹣2|+|b+3|＝0，

∴a﹣2＝0，b+3＝0，

解得a＝2，b＝﹣3，

所以，a+b＝2+（﹣3）＝﹣1．

故答案为：﹣1．

知识点7：有理数大小比较

【典例分析07】（2015秋•铁西区期末）如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q，若点P，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的有理数的点是（　　）

A．点M B．点P C．点N D．点Q

解：∵点P，Q表示的有理数互为相反数，

∴原点在PQ的中点，此时点M距原点最远，

因此点M所表示的数的绝对值最大，

故选：A．

【变式训练7-1】（2015秋•建湖县期末）在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的字是（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

解：逐个代替后这四个数分别为﹣0.3428，﹣0.1328，﹣0.1438，﹣0.1423．

﹣0.1328的绝对值最小，只有C符合．

故选：C．

【变式训练7-2】（2021秋•徐州期末）比较大小：﹣　＜　﹣3（填“＞”“＜”或“＝”）

解：∵＞＝3，

∴﹣＜﹣3，

故答案为：＜．

【变式训练7-3】（2021秋•广陵区期中）设a＜0，b＞0，且a+b＞0，用“＜”号把a、﹣a、b、﹣b连接起来为　﹣b＜a＜﹣a＜b　．

解：∵a＜0，b＞0，a+b＞0，

∴﹣a＞0，﹣b＜0，|a|＜|b|，

∴﹣b＜a＜﹣a＜b．

故答案是：﹣b＜a＜﹣a＜b