2022年山东省日照市中考数学试卷（Word解析版）

2022年山东省日照市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 山东省第二十五届运动会将于年月日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署，通过接种疫苗，让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至年月日，全国个省自治区、直辖市和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在实数，，，中，有理数的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法正确的是(    )

A. 一元一次方程的解是
B. 在连续次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定
C. 从名男生，名女生中抽取人参加活动，至少会有名男生被抽中
D. 将一次函数的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为

8. 孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，矩形与反比例函数是非零常数，的图象交于点，，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接，若四边形的面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是(    )

A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 主视图和左视图

11. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点下列结论：；若点，是抛物线上的两点，则；；若，则其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在坐标原点，点是对角线上一动点不包含端点，过点作，交于，点在线段上．若，，，，点的横坐标为，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______．
14. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______．

15. 关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共72分）

17. 先化简再求值：，其中．
    解不等式组并将解集表示在所给的数轴上．
     
18. 如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，以点为圆心的圆过顶点，与边交于点．
    求证：直线是的切线；
    若，求图中阴影部分的面积．

19. 今年是中国共产主义青年团成立周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩满分分进行整理成绩得分用表示，其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
    
    请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
    ______，______，并将直方图补充完整；
    已知这组的具体成绩为，，，，，，，，则这个数据的中位数是______，众数是______；
    若该校共有人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
    本次知识竞赛超过分的学生中有名女生，名男生，现从以上人中随机抽取人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中名女生参加知识竞赛的概率．
20. 年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在点测得雪道的坡度：，在点测得点的俯角若雪道长为，雪道长为．
    求该滑雪场的高度；
    据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．

21. 如图，是等腰直角三角形，，，，分别是边，上的点，以，为邻边作矩形，交于，设，，若．
    判断由线段，，组成的三角形的形状，并说明理由；
    当时，求的度数；
    当时，中的结论是否成立？并说明理由．
     

22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，点．
    当抛物线过点时，求抛物线的解析式；
    证明：无论为何值，抛物线必过定点，并求出点的坐标；
    在的条件下，抛物线与轴交于点，点是抛物线上位于第一象限的点，连接，交于点，与轴交于点设，问是否存在这样的点，使得有最大值？若存在，请求出点的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在实数，，，中，有理数是，，
所以，有理数的个数是，
故选：．
根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据题意可知，，，等量代换求出，再根据平行线的性质求出．
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：一元一次方程的解是，故A错误，不符合题意；
在连续次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较小的同学的成绩更稳定，故B错误，不符合题意；
从名男生，名女生中抽取人参加活动，至少会有名男生被抽中，故C正确，符合题意；
将一次函数的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据一元一次方程的解的概念，方差的意义，抽屉原理，一次函数图象平移的规律逐项判断．
本题考查一元一次方程的解，方差的应用，抽屉原理的应用，一次函数图象的平移等知识，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得．
故选：．
设木头长为尺，绳子长为尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：点、均是反比例函数是非零常数，的图象上，
，
矩形的顶点在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示

主视图和左视图都是由个正方形组成，俯视图由个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故选：．
从正面看，得到从左往右列正方形的个数依次为，，；从左面看得到从左往右列正方形的个数依次为，，；从上面看得到从左往右列正方形的个数依次，，，，依此画出图形即可判断．
本题主要考查作图三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

11.【答案】 

【解析】解：对称轴，
，
，正确；
抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点的距离，
，故正确；
经过点，
，
对称轴，
，
，
，
，故错误；
对称轴，
点的对称点为，
开口向上，
时，故正确；
故选：．
由对称轴为即可判断；根据点，到对称轴的距离即可判断；由抛物线经过点，得出，对称轴，得出，代入即可判断；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断．
本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：可得，，，
直线的解析式为：，
，
直线的解析式为：，
，
点的横坐标为：，点的坐标为：，
，
，
，
点的横坐标为：，
，
，
故答案为：．
先求得点，，三个点坐标，然后求得和的解析式，再表示出的长，进而表示出点的横坐标，根据不等式的性质求得结果．
本题考查了等腰直角三角形性质，求一次函数的解析式，不等式性质等知识，解决问题的关键是表示出点的横坐标．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

，且是圆周角，
是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
连接，根据得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出是圆形镜面的直径是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
，
，
，
，，
，
或时，
不合题意，
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】 

【解析】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
如图，当点在轴上时，为等边三角形，
则，，
，
，，
，且，
由勾股定理得：，
，
点的坐标为，
如图，当点在轴上时，
为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
，
点运动所形成的图象是一条直线，
当时，线段最短，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
，，
，
在中，，
设点到的距离为，则
，
，
解得，
即线段的最小值为，
故答案为．
点运动所形成的图象是一条直线，当时，垂线段最短，当点在轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点的坐标为，当点在轴上时，求得点的坐标为，最后根据待定系数法，求得直线的解析式为，再由线段中垂线性质得出，在中，设点到的距离为，则根据面积法得，即，解得，根据垂线段最短，即可得到线段的最小值为．
本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
 

17.【答案】解：原式


，
当时，
原式
；

，
解得：，
解得：，
故不等式组的解集是：，
解集在数轴上表示：
． 

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案；
直接解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】证明：连接，，

，，
，，
为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
即，
过圆心，
直线是的切线；

解：由可知：，
又，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：负数舍去，
所以阴影部分的面积． 

【解析】连接，，根据含度角的直角三角形的性质得出，求出，根据直角三角形的性质得出，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再根据切线的判定得出即可；
求出，，根据勾股定理得出，求出，再分别求出和扇形的面积即可．
本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：被调查的总人数为人，
优秀对应的百分比，
则一般对应的人数为人，
其对应的百分比，
补全图形如下：

故答案为：，．
将这组数据重新排列为，，，，，，，，
所以其中位数为，众数为，
故答案为：、；
估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为人；
画树状图为：

共有种等可能情况，其中被抽取的人恰好是女生的有种结果，
所以恰好抽中名女生参加知识竞赛的概率为．
先求出被调查的总人数，继而可求得、的值；
将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：过作，过过，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：

根据题知，
，
的坡度：，
：：，
设，则，
，
，
解得，负值已舍去，
，
答：该滑雪场的高度为；
设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是． 

【解析】过作，过过，两直线交于，过作垂直地面交地面于，根据题知，可得，由的坡度：，设，则，可得，即可得；
设甲种设备每小时的造雪量是，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是．
本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．
 

21.【答案】解：线段，，组成的是直角三角形，理由如下：
，，
，，
，
，
，
，
，
，
线段，，组成的是直角三角形；
如图，

连接交于，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形，
平分，
，
，
，
，
，，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
；
如图，

仍然成立，理由如下：
将逆时针旋转至，连接，
，，
，

，
，
，，
≌，
． 

【解析】分别表示出，及，计算出及，从而得出结论；
连接，可推出，可推出，从而得出，进而得出平分，平分，从而得出结果；
将逆时针旋转至，连接，可推出，进而推出≌，进一步得出结果．
本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

22.【答案】解：把，代入得，
，
，
；
证明：，
当时，即时，
，
；
如图，

连接，
设，
设的解析式为：，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
当时，，
 

【解析】把，代入，从而求得，进而求得抛物线的解析式；
将抛物线的解析式变形为：，进而根据，求得的值，进而求得结果；
将变形为：，设，设的解析式为：，将点和点坐标代入，从而求得的解析式，进而求得点的坐标，进而求得关于的解析式，进一步求得结果．
本题考查了求一次函数的解析式，二次函数及其图象性质等知识，解决问题的关键是变形，转化为常见的面积计算．