2022成都七中高二下学期6月月考试题数学（理）含答案

2021～2022学年度下期高2023届考试

数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）

1. 设复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

2. 设集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

3. 已知8位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是（）

A. 众数为7 B. 平均数为65 C. 中位数为64 D. 极差为17

【答案】B

4. 已知点A的坐标满足线性约束条件，，，则的最大值为（）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 6

【答案】A

5. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则△ABC的形状是（）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】C

6. 已知函数，则（）

A. 0 B.  C. 1 D. 2

【答案】D

7. 已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

8. 《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为总个数，则总个数（）

A. 18 B. 25 C. 33 D. 42

【答案】B

9. “蹴鞠” （如图），又名“蹴球”，是古人以脚蹴、蹋、踢球的活动．已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、C，满足为正三棱，M是的中点，且，侧棱，则该蹴鞠的表面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，当时，x的取值集合为A，则下列选项为的充分不必要条件的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

11. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使二面角的平面角的大小为，且三棱锥的体积为，则双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

12. 若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（）．

A.  B.

C.  D. 以上均不正确

【答案】C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）

13. 某市2017年至2021年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表.

若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表中的值为___________.

【答案】30

14. 设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是__________．

【答案】

15. 已知函数，则不等式的解集为______．

【答案】

16. 过点的直线l分别与圆及抛物线依次交于E，F，G，H四点，则的最小值为______．

【答案】13

三、解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分．在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 已知函数，是的一个极值点．

（1）求实数a的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）

（2）最大值是55，最小值是-15.

18. 我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

【答案】（1）66.8

（2）

19. 如图所示，在四棱锥中，，，，且．

（1）求证：平面ADP；

（2）已知点E是线段BP上的点且，，若二面角的大小为，求的值．

【答案】

【小问1详解】

连接BD，如图所示

由，知

，，，

在中，，，

设AB的中点为Q，连接DQ，则，，

所以四边形BCDQ为平行四边形，

又，，所以四边形BCDQ为正方形，

所以，，

在中，，

在中，，

所以，

又，，AP，平面ADP．

所以平面ADP．

【小问2详解】

由平面ADP，且平面ABCD，所以平面平面ABCD；

以D为原点，分别以DA，DB所在直线为x，y轴，以过点D与平面ABCD垂直的直线为z轴（显然z轴在面PAD内），建立如图所示空间坐标系，

则，，，，

，，，

设，，则

，

易知平面PAD的一个法向量为，

设平面EAD法向量为，则

，即，

令，则，

设二面角的大小为，则

所以，

因为二面角的大小为，

所以，即，解得（舍）或．

所以，时，二面角E－AD－P的大小为．

20. 已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．

（1）求C的方程及点P的坐标；

（2）过点P的直线l交C于另一点Q，点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．

【答案】（1），P点的坐标为

（2）或

21. 已知函数．（其中，…为自然对数的底数）

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若，是两极值点且，

①求实数a的取值范围；

②证明：．

【答案】（1）答案见解析；

（2）①；②证明见解析

【小问1详解】

当时，

∵，∴当时，恒成立，

∴单调递增为，无单调递减区间；

当时，令，即，∴，

∴在上单调递增，上单调递减．

综上，当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间是，

单调递减区间是．

【小问2详解】

当时，有两个极值点，，

所以在R上有两个不等实数根，，

①设，则，

设，则，

∴在上单调递增，又，

∴时，；时，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

要使在R上有两个不同的实根，则，即．

②∵，由前面的推导知：，

且在单调递增，单调递减，单调递增．

设，

∴

，

设，

，

∴在上单调递增，即．

∴在单调递增，

∴，∴，

又，∴，∴，

∴，∴原不等式成立．

（选修4-4：坐标系与参数方程）

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，AB的中点为M，求|PM|的值．

【答案】（1），

（2）