新高考数学二轮专题《立体几何》第15讲 立体几何折叠问题（2份打包，解析版+原卷版）

第15讲 立体几何折叠问题

一．解答题（共13小题）

1．如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

2．如图，在直角梯形中，，，且，，分别为线段，的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

3．如图1，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，现把平行四边形沿折起如图2所示，连接、、．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的正弦值．

4．如图1所示，在等腰梯形中，．把沿折起，使得，得到四棱锥．如图2所示．

（1）求证：面面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

5．如图1，菱形的边长为12，，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

6．如图1，已知在菱形中，，为的中点，现将四边形沿折起至，如图2．

（1）求证：面；

（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

7．如图1，四边形中，，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若为中点，求二面角的余弦值．

8．如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．

9．如图所示，在平行四边形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且．

（1）求证：平面平面；

（2）若平面和平面的交线为，求二面角的余弦值．

10．已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示．

（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与，与能否垂直？若能垂直，求出相应的值；若不垂直，请说明理由．

（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值．

11．如图，在长方形中，，，、为线段的三等分点，、为线段的三等分点．将长方形卷成以为母线的圆柱的半个侧面，、分别为圆柱上、下底面的直径．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

12．在菱形中，且，点，分别是棱，的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取，的中点，．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求多面体的体积．

13．已知等腰直角△，，，，分别为，的中点，将△沿折到的位置，，取线段的中点为．

求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．